Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей математики

Аргумент

Функции

Градусы

Радианы

sin

cos

tg

ctg

180o

0

–1

0

Не суще-

ствует

210o

7

1

3

3

3

6

2

2

3

225o

5

2

2

1

1

4

2

2

240o

3

3

1

3

3

4

2

2

3

270o

3

–1

0

Не суще-

0

2

ствует

300o

5

3

1

3

3

3

2

2

3

315o

7

2

2

–1

–1

4

2

2

330o

11

1

3

3

3

6

2

2

3

360o

2

0

1

0

Не суще-

ствует

,

3

,

2

выражаются через значения sin ,

cos ,

2

Таблица 3.2

Формулы приведения

Функ-

Аргумент

ция

3

3

2

2

2

2

2

2

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

tg

ctg

ctg

tg

tg

ctg

ctg

tg

tg

ctg

tg

tg

ctg

ctg

tg

tgα

ctg

ctg

При преобразовании тригонометрических выражений полезно

использовать следующие правила приведения:

3 к функциям

а) при переходе от функций углов

,

угла

2

2

название функции изменяют: синус на косинус, тангенс

на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов

,

2 к функциям угла название функции сохраняют;

б) считая острым углом (т. е. 0 ),

перед функцией угла

2

ставят такой

знак,

какой

имеет

приводимая

функция

углов

,

,

3

.

2

2

tg( )

tgα tg

,

ctg( )

1 tg tg .

1 tg tg

tg tg

tg2

2tg

,

n,

n,

n Z.

1

tg2

2

4

2

sin

2

1 cos

,

cos

2

1 cos

,

2

2

2

2

tg

2

1 cos

,

tg

sin

1 cos

,

n,

n Z.

2

1 cos

2

1

cos

sin

sin sin 2sin cos

;

2

2

cos cos 2cos cos

;

2

2

cos cos 2sin

sin

;

2

2

sin

k,

k Z,

tg tg

2

,

cos cos

n,

n Z;

2

ctg ctg

sin

,

k,

k Z,

sin sin

n,

n Z;

a sin b cos r sin( ),

где r

a2 b2 ,

аргумент определяется из условий:

cos

a

sin

b

,

,

a2 b2

a2

b2

tg tg

tg tg

,

ctg ctg ctg ctg .

ctg ctg

tg tg

2tg

sin

2

,

2 n,

n Z;

2

1 tg

2

1 tg

2

2

2 n,

n Z;

cos

,

2

1 tg

2

2tg

tg

2

,

n, 2 n,

n Z;

tg

2

2

1

2

1 tg

2

ctg

2

,

n,

n Z.

2tg

2

sin x 0

для всех x ( 2 n,2 2 n), n Z;

7) функция

возрастает от

–1

до

1

на

промежутках

2 n;

и убывает

от

1 до

–1

на

промежутках

2

2

2 n

2 n;

3

n Z;

2

2

2 n ,

8) функция принимает наибольшее значение, равное 1,

в точ-

ках

x

2 n

и

наименьшее

значение,

равное

–1, в

точках

2

x

3 2 n,

n Z.

2

y

y = sin x

1

– /2

0

3 /2

2

–2 –3 /2

–

/2

x

5)

cos x 0

при x n,

n Z;

2

2 n;

6)

cos x 0

для всех x (

2 n);

2

2

cos x 0 для всех x ( 2 n; 3

2 n),

n Z;

2

2

y

y = cos x

1

–

–3

0

3

2

/2

/2

– /2

/2

–

2

1

x

Функция y tg x

определена

при всех

x,

кроме чисел

вида

x n, где n Z.

Область значений E( y) R, т. е. функция не-

2

ограниченная. Функция y tg x

нечетная,

т. е.

tg( x) tg x

для

ным периодом T ,

т. е. tg(x ) tg x для x D( y). Кроме этого

tg x 0

при x n, n

Z;

tg x 0

для всех x n;

2

n , n Z;

tg x 0

,

n Z. Функция

y tg x возрас-

для всех x

2

n; n

тает на промежутках

n;

n

,

n Z.

Прямые

x

n,

2

2

2

n Z являются вертикальными

асимптотами

графика функции

0

3

x

/2

/2

Функция

y ctg x определена при всех

x,

кроме чисел вида

x n, где

n Z. Область значений E( y)

R,

т. е. функция не-

любых x D( y),

периодическая с наименьшим положительным пе-

риодом T ,

т. е. ctg(x ) ctg x для всех

x D( y). Имеют ме-

сто соотношения ctg x 0 при x n,

n Z;

ctgx 0 для всех

2

n Z;

ctg x 0 для всех

x n;

2

n ,

x

2

n; n , n Z.

Функция y ctg

x убывает на каждом из промежутков n; n ,

n Z.

Прямые

x n,

n Z являются вертикальными асимпто-

тами графика этой функции. График функции

y ctg x изображен

на рис. 3.34.

y

y = сtg x

0

–

x

– /2

/2

число

из отрезка

,

,

для которого sin a. В соот-

2

2

определения D y 1,1 и областью значений

,

E y

2

2

.

Данная функция является нечетной и возрастающей на D y

от

до . При этом arcsin 0 0; при x 1, 0 y 0,

2

а при x 1, 0

2