Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей математики

Определение 3.13. Под функцией y x , где x – положительное

число, а – иррациональный показатель, понимается предел (понятие предела является одним из базовых понятий математического анализа;

p

смысл этого понятия подробно разъяснен в [4]) lim x q x , к кото-

qp

p

рому стремится последовательность чисел x q , когда последователь-

ностьрациональных степеней qp стремитсяк числу .

Функция y x при 0 определена для любых x 0; y 0, если x 0; она знакоположительна и возрастает при x 0. Графики функции имеют вид, приведенный на рис. 3.25, а, б.

При 0 для функции y x верны равенства: D y 0, , E y 0, . Эта функция убывающая и знакоположительная. График данной функции имеет вид, изображенный на рис. 3.25, в.

100

Важно подчеркнуть, что всюду выше в случаях, когда степенная функция многозначная, рассматривались только их главные ветви.

Показательная и логарифмическая функции. Преобразование показательных и логарифмических выражений

Определение 3.14. Показательной функцией называется функ-

ция, заданная формулой y ax, где a – некоторое положительное

число, не равное единице, x – независимая переменная. Данная функция обладает следующими свойствами:

1)D y R – область определения функции;

2)E y 0, – область значений функции;

3)функция является непериодической;

же x 0, то 0 ax 1; при 0 a 1 функция убывает от до 0, не достигая 0, для всех конечных x R; если же x 0, то 0 ax 1,

если x 0, то ax 1;

6) функция не имеет минимумов и максимумов (экстремумов).

101

Частным случаем показательной функции является функция y ex, где число e = 2,718281828… имеет смысл основания натуральных логарифмов.

Графики функции y ax изображены на рис. 3.26.

Рис. 3.26. Графики функции y ax:

а – a 1; б – 0 a 1

Определение 3.15. Логарифмом loga b числа b по основанию a, где a 0, a 1, b 0 называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Имеет место основное логарифмическое тождество:

aloga b b,

где a 0, a 1, b 0.

Это тождество равносильно равенствам ac b и loga b c, где a 0, a 1, b 0.

Логарифм lg b log10 b числа b по основанию 10 называют де-

сятичным. Логарифм по основанию e называют натуральным и обозначают ln b, т. е. loge b ln b.

Логарифмы обладают следующими свойствами (при условии, что a 0, a 1, b 0, c 0):

102

Определение 3.16. Логарифмической функцией называется функ-

ция, заданная формулой y loga x, где a – некоторое положитель-

ное число, не равное единице, x – независимая переменная. Логарифмическая и показательная функции при одном и том же

основании являются взаимно обратными.

При преобразовании выражений, содержащих логарифмические функции, используются следующие соотношения:

Имеют место следующие свойства логарифмических функций:

1)D( y) 0, ;

2)E( y) R;

103

3)логарифмическая функция является функцией общего вида, непериодическая;

4)число x 1 является нулем функции; при a 1 loga x 0 для

5) при a 1 логарифмическая функция возрастает от до для всех x 0; при 0 a 1 эта функция убывает от до для всех x 0;

6) данная функция не имеет экстремумов.

Важным частным случаем логарифмической функции является функция y ln x.

Графики функции y loga x изображены на рис. 3.27.

Рис. 3.27. Графики функции y loga x:

а – a 1; б – 0 a 1

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции угла

Плоская фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.

Отметим на оси OX справа от точки O (начало координат) точку A и проведем через нее окружность с центром в точке O

(рис. 3.28).

104

y

Рис. 3.28. Изображение углов и в системе координат OXY на плоскости

Если повернуть радиус OA около точки O против часовой стрелки, то угол поворота считают положительным, а если по часовой стрелке – отрицательным.

За единицу измерения углов и дуг принимают соответственно угол в 1 градус и дугу в 1 градус (обозначают 1o ). Угол в 1o – это

угол, который опишет радиус OA, совершив 3601 часть полного оборота вокруг своей начальной точки O против часовой стрелки.

Напомним, что 601 часть градуса называется минутой (обозна-

чают 1 ), а 601 часть минуты – секундой (обозначают 1 ).

Величину угла также измеряют в радианах.

Угол в 1 радиан есть по определению угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Если радиус OA совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360o или 2 радиан.

105

Радианная мера 1o равна 180 . Если угол содержит no, то его радианная мера равна 180n . Угол, равный радианам, содер-

жит число градусов, которое равно no 180 .

Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом R, равным 1 (рис. 3.29).

106

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки P к радиусу. Таким образом,

cos x x , если R 1.

R

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки P к ее абсциссе:

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки P к ее ординате:

Секансом угла называется величина, обратная cos , т. е.

sec cos1 , cos 0.

Косекансом угла называется величина, обратная cos , т. е.

Отметим, что определенные выше величины называют тригонометрическими функциями угловой величины .

Знаки, которые принимают значения тригонометрических функций в координатных четвертях, изображены на рис. 3.30.

107

Рис. 3.30. Знаки тригонометрических функций в четвертях координатной плоскости

Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические функции удовлетворяют следующим основным тригонометрическим тождествам:

108

Ряд значений тригонометрических функций можно представить в явной форме (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Значения тригонометрических функций

109