Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

970.55 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

ax2 bx c 0

при x x или

x x ;

ax2 bx c 0 при

x x x ;

если D 0, то

ax2 bx c 0 для всех x

;

если

D 0,

то

ax2 bx c 0

для

всех

x R.

Если a 0

D 0,

то

ax2 bx c 0

при

x x x ;

ax2 bx c 0

при

x x

или

x x ; если D 0, то ax2 bx c 0

для всех x

;

если D 0,

то ax2 bx c 0	для всех x R (рис. 3.13–3.16). При x 0	y c.
	y
	y ax2

Рис. 3.13. Парабола y = ax2, a > 0

a > 0

D > 0

D = 0

Рис. 3.14. Парабола y = ax2 + bx + c, a > 0:

а – D 0; б – D 0

a > 0

a < 0

> 0

D < 0

b O x2

b O

Рис. 3.15. Парабола y = ax2 + bx + c:

а – a 0, D 0; б – a 0, D 0

a < 0

D = 0

a < 0

D < 0

Рис. 3.16. Парабола y = ax2 + bx + c:

а – a 0, D 0; б – a 0, D 0

График квадратичной функции называется параболой. Если a 0 (a 0), то ветви параболы направлены вверх (вниз). Осью симмет-

рии параболы служит прямая x 2ba . Точка графика функции

с абсциссой	x	b	и ординатой	y	4ac b2	называется

	0	2a		0	4a

вершиной параболы. Если b 0, c 0, вершина параболы y ax2 находится в начале координат (см. рис. 3.13). Графики функции y ax2 bx c изображены на рис. 3.14–3.16.

Функция y kx . Обратно пропорциональная зависимость.

Дробно-линейная функция

Функция y kx выражает обратно пропорциональную зависи-

мость переменной y от переменной x. Здесь k – действительное число, отличное от нуля, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Область определения данной функции D y R \ 0 , а область изменения E y R \ 0 . Эта функция нечетная и ее график симмет-

ричен относительно начала координат. При k 0		y 0	при	x 0
и y 0 при x 0. При k 0	y 0 при x 0 и	y 0	при	x 0.
При k 0 данная функция монотонно убывает в , 0			и 0, ,

а при k 0 монотонно возрастает в тех же промежутках. Функцию y kx можно рассматривать как частный случай степенной функции

y x при 1. Графикфункцииназывается гиперболой(рис. 3.17). Оси координат OX и OY являются соответственно горизон-

тальной и вертикальной асимптотами графика функции y kx .

Дробно-линейной функцией называется функция y f (x) вида

y cxax db ,

где a, b, c, d – некоторые действительные числа, c 0 и ad bc.

	y				y
		y	k	, k 0		y	k	, k 0


			x
			x				x
O				x	O			x

	Рис. 3.17. Гипербола y	k	:
	Рис. 3.17. Гипербола y		:
		x
	а – k 0; б – k 0
При c 0	эта функция становится линейной, а при ad bc
y const.

Для исследования свойств и построения графика дробно-линей- ной функции удобно представить ее в виде

						y ax b	n	k	,
						y ax b	n	x m	,
						cx d		x m
где	n a	,	k	bc ad	,	m d .
где	n a	,	k	c2	,	m d .
	c			c2		c

Тогда график функции можно получить из графика функции y 1x с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей).

Дробно-линейная функция			y ax b	определена всюду, кро-
	x d		cx d
ме точки	x d	, и принимает		значения в области
	c

	,	a	a		. При a 0	и d 0 она является функцией
E y	,			,	. При a 0	и d 0 она является функцией
		c	c

общего вида, а при a 0 и d 0 – нечетной функцией. Свойства данной функции следуют из свойств функции y kx согласно приведенным выше преобразованиям функции и ее графика. Прямые y ac и x dc являются горизонтальной и вертикальной асимптотами графика этой функции.

Степенная функция

Степенной функцией называется функция y x , где – любое действительное число. Если – число рациональное, то функция y x называется алгебраической, если же – иррациональное, то

функция y x называется трансцендентной.

	Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации.
	Пусть 2n, n N, y x2n,			тогда D y R; E y 0, ; y 0
при x 0. Функция y x2n –				четная; она на промежутке , 0
убывает, а на промежутке 0,					возрастает. График – парабола
порядка 2n (рис. 3.18, а). При n 1					имеем y x2 – квадратичную
функцию.
	Пусть 2n 1,		n N, т. е.	y x2n 1. Тогда D y R; E y R
и	y 0	при x 0.	Функция y x2n 1 – нечетная, возрастает на R
от		до . График этой функции – парабола порядка 2n 1
(рис. 3.18, б).

Отметим, что при 0 и 1 функция y x совпадает с частными случаями y 1 и y x линейной функции.

y		y y x2n 1,
y x2n ,	n N	y y x2n 1,	n N

Рис. 3.18. Графики функций:

а – y = x2n; б – y = x2n+1

Пусть

2n,

n N,

Тогда

D y R \ 0 ,

E y 0, .

x2n

Данная функция –

знакоположительная,

четная,

возрастает

на

промежутке

убывает на промежутке

0, . Ось OX является горизонтальной, а ось OY – вертикаль-

ной асимптотой для этой функции. График функции

имеет

x2n

вид, приведенный на рис. 3.19, а.

Пусть 2n 1,	n N,	y	1	.	Тогда D y R \ 0 ,
			x2n 1

E y R \ 0 . При x 0 эта функция принимает отрицательные значения, а при x 0 – положительные. Функция – нечетная, убывает на промежутках , 0 и 0, . Координатные оси OX и OY яв-

ляются соответственно горизонтальной и вертикальной асимптотами графиков функции (определение и смысл понятия асимптоты

изложены, например, в [4, 8, 18, 20]). График функции y x21n 1

имеет вид, приведенный на рис. 3.19,	б. Частный случай	y	1	,
соответствующий значению n 1, рассмотрен выше.			x
соответствующий значению n 1, рассмотрен выше.
y	y

Рис. 3.19. Графики функций:

а – y

, n N;

б – y

, n N

x2n 1

x2n

Пусть r – рациональное

число.

Если

где

n N,

то y 2n x. Тогда D y 0, ,

E y 0,

y 0

при

x 0.

Функция возрастает при всех x 0. График функции y 2n x полу-

чается как график обратной функции с помощью симметричного отображения относительно прямой y x правой ветви графика

функции y x2n	(рис. 3.20, а). Если r	1		, n N, то	y 2n 1 x.
		2n 1
Тогда D y R,	E y R, y 0 при x 0,		y 0 при x 0 и y 0
при x 0. Такая функция – нечетная, возрастает при всех					x R. Гра-

фик функции y 2n 1 x получается как график обратной функции,

симметричный графику функции y x2n 1 относительно биссектрисы y x первого и третьего координатных углов (рис. 3.20, б).

y 2n x, n N

y 2n 1 x, n N

Рис. 3.20. Графики функций:

а – y 2n x; б – y 2n 1 x

Пусть r

, где

p и q – натуральные и взаимно простые чис-

ла. График функции

y q x p

зависит от чисел

p и q. Если p –

четное, q – нечетное, то функция y q x p

определена на R,

явля-

ется неотрицательной и y 0

при x 0.

При

x 0 она убывает,

а при x 0

– возрастает. График функции имеет вид, изображен-

ный на рис. 3.21.

y x

, 0

y x

Рис. 3.21. Графики функций y x q ,

p – четное,

q – нечетное:

а – 0

1; б –

Если p и q

– нечетные числа, то функция

y q x p

определена

при x R,

E y R;

y 0

при x 0,

y 0

при

x 0,

y 0 при

x 0. Функция y – нечетная, возрастающая при всех x.

График функции имеет вид, приведенный на рис. 3.22.

y x q ,

y x

, 0

Рис. 3.22. Графики функций y x q ,

p и q – нечетные:

а – 0

1; б –

Если

p – нечетное

число,

q – четное,

то

функция

y x

x p q

q x p

определена на промежутке 0,

и y 0

при x 0.

Функция y

возрастает при

x 0

от 0

до

График

функции имеет вид, приведенный на рис. 3.23.

В частности, при

имеем

y x2 (или y2

x3 ) – ветвь по-

лукубической параболы.

y					y		p	p
	p
			p			y x q ,			1
y x	q	, 0		1
								q
			q

Рис. 3.23. Графики функций y x q ,

p – нечетное, q – четное:

а – 0

1; б –

Пусть r

, где

– натуральные и взаимно простые

числа. Тогда y x

. Если

p – четное, q

– нечетное,

q x p

x q

то D y , 0 0, . При этом функция y – четная, знако-

положительная, возрастающая при x 0 и убывающая при x 0. Координатные оси являются горизонтальной и вертикальной асимптотами графикаданнойфункции. Графикизображеннарис. 3.24, а.

Если p и q – нечетные	числа, то	D y , 0 0, ,
E y , 0 0, , y 0	при x 0,	y 0 при x 0. Функция

y – нечетная, убывающая на промежутках x , 0 и x 0, .

Оси координат являются асимптотамиграфикафункций (рис. 3.24, б). Если p – нечетное, q – четное, то D y 0, , E y 0, .

Функция убывающая, а координатные оси являются асимптотами ее графика (рис. 3.24, в).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.202523.36 Mб0Архитектурный рисунок.pdf
#
24.11.20251.5 Mб0АСУ дорожным движением.pdf
#
24.11.20253.17 Mб0Атлетическая подготовка.pdf
#
24.11.20258.64 Mб6Атомные электрические станции.pdf
#
24.11.2025895.24 Кб0АХД таможенных органов.pdf
#
24.11.2025970.55 Кб0Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей математики.pdf
#
24.11.20251.52 Mб0Базы данных разработка и управление.pdf
#
24.11.20252.69 Mб0Базы данных.pdf
#
24.11.20251.3 Mб0Базы знаний и поддержка принятия решений в САПР. В 3 ч. Ч. 1..pdf
#
24.11.20251.21 Mб0Базы знаний и поддержка принятия решений в САПР. В 3 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.19 Mб1Балансировка вращающихся масс.pdf