Анализ производственно-хозяйственной деятельности на автотранспортном предприятии

Найдем

350 fi

i 1

Следовательно,

Для нахождения теоретических частот по экспоненциальному распределению воспользуемся формулой

fi' N h l t 350 10 0,05 l 0,05t 175l 0,05t ,

где N = 350 — число единиц в совокупности; h — величина интервала.

Для расчетов прибегнем к таблицам значений функции

f x : f1’(5) = 136; f2’(15) = 83; f3’(25) = 50; f4’(35) = 30; f5’(45) = 18; f6’(55) = 11; f7’(65) = 7; f8’(75) = 4.

60

Для оценки существенности расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений примем показатель χ2 Пирсона: χ2 = 8,4. В нашем примере число степеней свободы для экспоненциального распределения v = п – 2 = 6. По таблицам нахо-

дим Р6(х2 ≥ 8,4) = 0,24. Так как Р6(х2 ≥ 8,4) > 0,05, то принимаем ги-

потезу об экспоненциальном распределении времени обслуживания. Таким образом, задав систему массового обслуживания с помо-

щью трех (λ/µ/n) или четырех (λ/µ/n/m) шифров, можно установить основные операционные показатели, характеризующие эффективность работы той или иной системы. В частности, среднее число простаивающих каналов, коэффициент загрузки (простоя) каналов, средний процент обслуживаемых (или получающих отказ) заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время пребывания заявки в системе обслуживания, среднюю длину очереди, средний доход (или потери) в единицу времени и т.д.

Приведем следующий пример. На минском производственном объединении «Горизонт» для контроля за качеством готовой продукции (телевизоров) разрабатывается новая система. Она будет включать некоторое количество испытательных стендов и помещения для хранения поступающих на контроль телевизоров. Вследствие ограниченной площади помещения одновременно в очереди может находиться не более чем т изделий. Если доставляемый на контроль телевизор попадет в ситуацию, когда все места для ожидания заняты, он отгружается, не проходя кон роля.

Исследование моментов транспортировки телевизоров на контроль показало, что они случайны и распределены по закону Пуассона с параметром λ, тел./ч. Время, затрачиваемое на контроль телевизора, также случайно со средним значением µ тел./ч. Необходимо при заданных т. = 3 тел., λ = 2 тел./ч, µ = 1 тел./ч выяснить минимальное число испытательных стендов, чтобы было проконтролировано не менее 95 % выпускаемой продукции, а затем для полученного n провести полный анализ системы.

Итак, имеем систему (λ/µ/п/т) массового обслуживания с ограниченным числом мест для ожидания и неизвестным числом обслуживающих устройств. По условию задачи относительная пропускная способность системы должна быть не менее 95 % (g ≥ 0,95). Тогда доля неудовлетворенных заявок должна составлять не более

0,05 (Ротк ≤ 0,05). Pоткл = рn + m/nm n! P0, где p = λ/µ.

61

В соответствии с условием задачи необходимо подобрать такое п, при котором будет справедливо неравенство

где ρ = λ/μ = 2; m = 3.

Для отыскания п последовательно присвоим ему значения 1, 2, 3 и т. д., до тех пор, пока не будет выполняться приведенное выше неравенство. Результаты вычислений при различных п представлены в табл. 2.34.

(λ/µ/п/т) = (2/1/3/3).

Из таблицы видно, что при п = 3, Ротк = 0,0481 < 0,05, то есть необходимо установить три испытательных стенда. Определим основные параметры системы:

(λ/µ/n/m) = (2/1/3/3)

Следовательно, в среднем примерно один стенд будет простаивать. Коэффициенты занятости и простоя:

62

Поскольку вероятность отказа Ротк = 0,0481, относительная пропускная способность, или доля продукции, которая пройдет кон-

троль, будет равна q = 1 – 0,0481 = 0,9519.

Общее число телевизоров, проходящих контроль в единицу времени (относительная пропускная способность), составит:

A = λ q = 2 0,9519 = 1,9038.

Среднее число телевизоров, находящихся в очереди:

Среднее число телевизоров, находящихся одновременно в системе:

Lсист Lоч Nзап 0,397 1,90 2,397.

Среднее время ожидания в очереди

WLоч 0,397 0,1985 ч 12 мин.

2

Среднее время прохождения телевизором контроля

В данной системе условие существования решения имеет вид р/п ≠ 1. Если же р/п = 1, вероятность того, что все стенды свободны, устанавливается следующим образом:

63

а средняя длина очереди определяется по формуле

В данном примере исследована система, когда число мест в очереди ограничено. Теперь приведем пример, когда число мест в очереди не ограничено.

Пусть на автомобильном заводе решили выяснить оптимальную численность служащих инструментальной кладовой, выдающей инструмент. Исследования показали, что среднее число рабочих, обратившихся за инструментом в кладовую, составляет 1,6 раб./мин, то есть λ = 1,6. Поток поступающих заявок удовлетворяет пуассоновскому распределению, а интенсивность обслуживания равна 0,9 раб./мин, то есть µ = 0,9 и удовлетворяет показательному распределению. Потери от простоя рабочего достигают С2 = 5 руб. в единицу времени, а содержание кладовщика — Сr = 4 руб. в единицу времени.

Необходимо определить оптимальное число кладовщиков (n), при котором суммарные потери от простоя рабочих и содержания кладовщиков были бы минимальны.

Получаем многоканальную систему массового обслуживания без ограничений на очередь (λ/µ/n/∞). Условие решения такой системы имеет вид р/п < 1. В случае р/п > 1 система не справляется с обслуживанием, ее очередь неограниченно возрастает. Отношение р/п называется уровнем загрузки системы. Так как р = 1/µ = 1,6/0,9 = 1,77, то для разрешения системы п необходимо придавать значения

2, 3, 4, ...

64

Среднее число занятых кладовщиков: Nзан = p = 1,77. Среднее число рабочих в очереди: Lоч= pn+1/n n!(1 – p/n)2. Среднее число рабочих в системе: Lсист = Lоч + Nзан.

Так как среднее число занятых кладовщиков Nзан = p, то Nзан-p – среднее число простаивающих кладовщиков. Следовательно, средние потери, связанные с простаиванием кладовщиков, будут равны:

Z1 = (Nзан-p) C1

Среднее число заявок в очереди – Lоч. Поэтому потери, связанные с простаиванием рабочих, составят: Z2 = pn + 1/n n!(1 – p/n)2 P0C2.

Задача состоит в нахождении такого n, при котором функция общих потерь достигает минимума: Z = Z1 + Z2

Результаты вычислений при различных n представим в табл. 2.35.

Из полученных результатов следует, что в инструментальной кладовой выгоднее иметь трех кладовщиков (n = 3), поскольку общие затраты и потери (Z) будут наименьшими — 7,42 руб. в единицу времени.

2.6. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений и в расчетах затрат и цен

Балансовая модель — это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторноматричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называ-

65

ют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях.

Пусть, например, известно, что каждое предприятие наряду с основным производством имеет вспомогательное, включающее в себя ряд цехов. Вспомогательные цехи оказывают услуги друг другу и основному производству. Величина себестоимости работ и услуг каждого вспомогательного цеха складывается из работ (услуг) других вспомогательных цехов. Чтобы определить затраты, связанные с использованием данным цехом работ (услуг) других цехов, надо наряду с объемом предоставленных работ (услуг) знать их себестоимости. Но, в свою очередь, определение этих себестоимостей невозможно без предварительного исчисления себестоимости работ (услуг), которые цехи получили друг от друга.

Механизм использования балансового метода покажем на следующем примере. Пусть на предприятии наряду с основным производством имеется четыре вспомогательных цеха — цех сетей и подстанций, цех водоснабжения, автопарк, ремонтно-механический цех. Все они оказывают услуги друг другу (табл. 2.36).

Таблица 2.36

Матрица взаимосвязей работ (услуг)

66

На основе таблицы можно получить систему уравнений:

j 1

Приведенные соотношения представляют собой систему двух групп неизвестных: себестоимости единицы продукции, работ, услуг и общего размера затрат по каждому структурному подразделению предприятия.

Чтобы решить такую систему, приведем ее к стандартному виду, для чего выражение переменных yi подставим в выражение переменных xi. В результате получим:

68