59722

yy

y

2

y(0) 1,

(Ответ: y

C2eC1x 1

2.

,

-

общее

(y )

y (0) 1

C1

3.

ctg y

y

2

2

y(0) 0,

(Ответ:

sin y C1x C2 - общий

,

(y )

y (0) 1

интеграл, x sin y - решение задачи Коши).

y

2

y 0,

y(1) 0,

1

x2 1

4.

(1)

(Ответ: y

-

решение задачи

(y )

y

2

4

y

y

6y 0,

y(0) 2,

y (0) 9.

2

6 0 .

Находим корни 1 2, 2

3. Общее решение ЛОДУ имеет вид

y C e 2x

C

e3x

, C , C

2

R .

1

2

1

Для решения задачи Коши вычислим

y 2C1e 2x 3C2e3x

и подставим начальные условия x 0,

y 2,

y 9

в выражения для y, y :

C C

2,

C1 3, C2 1.

1

2

3C2 2C1 9.

Подставляя найденные значения C1 3, C2

1 в общее решение,

получаем

y 3e 2x

e3x - решение задачи Коши.

Пример 3.2. Решить задачу Коши:

y

6y

9y 0, y(0) 1, y

(0) 0 .

и подставим

начальные

условия

x 0, y 1, y 0

в

выражения для

y, y :

C C

0 1,

C1 1, C2 3.

1

2

3C1 C2 C2 0 0.

C1 1, C2 3

Подставляя

найденные

значения

в

общее

решение,

получаем

y e3x

3xe3x

- решение задачи Коши.

Пример 3.3. Решить задачу Коши:

y

6y

13y 0, y( ) 0, y

( ) 2 .

Решение. Это линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными

коэффициентами. Составляем для него характеристическое уравнение

2

6 13 0 .

Находим корни 1

3 2i, 2

3 2i .

Общее решение ЛОДУ имеет

вид

y C e 3x cos2x C

e 3x sin 2x, C , C

R .

2

1

2

1

Подставим в y(x) первое начальное условие x , y 0 :

0 C e 3 cos2 C

2

e 3 sin 2 C e 3

C

2

0 C e 3

C 0 .

1

1

1

1

Учитывая, что C1 0 , вычисляем производную

y (C2e 3x sin 2x) 3C2e 3x sin 2x 2C2e 3x cos2x

и подставляем

в

неё

второе

начальное

условие

x , y 2 :

2 3C2e 3 sin 2 2C2e 3 cos2 2C2e 3 C2

e3 .

Подставляя

найденные

значения

C 0, C

2

e3

в

общее

решение,

1

y py qy f (x),

p,q R .

где y (x) – общее решение соответствующего ЛОДУ y py qy 0 , а

–

y (x)

ЛНДУ

y (x) ищут в виде

x

(Rl (x)cos x Sl (x)sin x).

y(x) e

Если же число является корнем характеристического уравнения ЛОДУ

кратности k , то частное решение ЛНДУ y (x) ищут в виде

k

e

x

(Rl (x)cos x Sl (x)sin x) ,

y(x) x

Подставляя выражение для

y (x) в исходное ЛНДУ, вычисляем значения

неопределенных коэффициентов многочленов Rl (x), Sl (x) ,

при

которых

уравнение

обращается

в

верное

равенство. Затем,

подставляя найденные

значения

коэффициентов

многочленов в

решение

y(x) , получаем частное

ЛНДУ.

3. Общее решение исходного ЛНДУ записываем в виде y

y y (x) .

Пример 3.4. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным

начальным условиям

2

2y

y

3x

8x 5,

y(0) 1,

y (0) 2 .

Решение. Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и

правой частью специального вида.

Для соответствующего ЛОДУ 2y y 0

составляем характеристическое уравнение

1

2 2 0 ,

(2 1) 0 , 0,

2

.

1

2

Общее решение соответствующего ЛОДУ имеет вид

x

y C C

e 2 .

1

2

24

По виду правой части исходного ЛНДУ (в нашем примере 0, 0 )

выписываем контрольное число

i 0 0 i 0 . Оно является корнем

характеристического уравнения

соответствующего

ЛОДУ

кратности

k 1,

поэтому

частное

решение

ЛНДУ

ищем

виде

y (x)

2

Bx C) Ax

3

Bx

2

Cx . Вычисляем производные:

y (x) = x(Ax

(x) = Ax

3

Bx

2

Cx

y

(x) 3Ax

2

2Bx C

y

(x) 6Ax 2B .

y

(x) в ЛНДУ и приравниваем слева и справа

Подставляем y (x),

y

(x), y

коэффициенты при

x2 : 3A 3

A 1,

x : 12A 2B 8 B 2,

x0 : 4B C 5 C 3.

Подставляя найденные значения A, B, C в выражение для y (x) , получаем

3

2x

2

3x . Таким образом, общее решение ЛНДУ имеет вид

y (x) x

y C C

x

e 2 x3 2x2 3x .

1

2

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным

условиям. Вычисляем

x

y

C2

e 2 3x2 4x 3 .

y :

2

и подставляем начальные условия x 0, y 1, y 2

в выражения для y,

y(0) C1 C2

1

C2

откуда C1 3, C2 2.

y (0)

3 2,

2

Коши

Подставляя C1 , C2

в общее решение ЛНДУ,

получаем решение задачи

x

y 3 2e 2 x3 2x2 3x .

Пример 3.5. Решить задачу Коши

y

6y

13y

(8x 4)e

x

,

y(0) 1, y (0) 2 .

6 16

6 4 1

3 2i .

1, 2

2

2

Общее решение соответствующего ЛОДУ имеет вид

e 3x (C cos2x C

sin 2x).

y

2

1

По виду правой части исходного ЛНДУ (в нашем примере 1, 0 )

выписываем контрольное

число

i 1 0 i 1. Оно

не

является

корнем

характеристического

уравнения

соответствующего

ЛОДУ,

поэтому

частное

решение

ЛНДУ

ищем

виде

x

. Вычисляем

y (x)

y (x) =(Ax B)e

производные:

x

y (x) =(Ax B)e

(x) Ae

x

(Ax B)e

x

e

x

( Ax A B)

y

(x) Ae

x

e

x

( Ax

A B) e

x

(Ax 2A B) .

y

Подставляем

(x) в ЛНДУ:

y (x), y

(x), y

e x (8Ax (4A 8B)) (8x 4)e x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой

части равенства, получаем:

8A 8

, откуда A 1, B 0 .

4A 8B 4

Подставляя найденные значения A, B в выражение для

получаем

y (x) ,

x

. Таким образом,

y e

3x

(C1 cos2x C2 sin 2x) xe

x

– общее решение

y (x) = xe

исходного ЛНДУ.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным

условиям. Вычисляем

y 3e 3x (C1 cos2x C2 sin 2x) e 3x ( 2C1 sin 2x 2C2 cos2x) e x

xe x .

и подставляем начальные условия x 0, y 1, y 2 в выражения для y,

y :

y(0) C1

1

откуда C1 1, C2

2 .

y (0) 3C1 2C2 1 2,

Подставляя C1 ,

C2

в общее решение ЛНДУ, получаем решение задачи

2 2 0, D 12 4 2 9 ,

1

1 3

1,

1

1 3

2..

9

2

9

1

2

2

2

2

Общее решение соответствующего ЛОДУ имеет вид

C ex C

e 2x .

y

1

2

По виду правой части исходного ЛНДУ (в нашем примере 1, 1)

выписываем контрольное

число i 1 1 i 1 i .

Оно не

является

корнем характеристического уравнения

соответствующего

ЛОДУ,

поэтому

частное решение ЛНДУ

x

(Acos x Bcos x) . Вычисляем

y (x) ищем виде y (x) =e

производные:

x

(Acos x Bcos x)

y (x) =e

(x) e

x

(Acos x Bsin x) e

x

( Asin x Bcos x) e

x

((A B)cos x (B A)sin x)

y

(x) e

x

((A B)cos x (B

A)sin x) e

x

(( A B)sin x (B A)cos x)

y

ex (2B cos x 2Asin x)

(x)

в ЛНДУ и приравниваем слева и справа

Подставляем y (x), y

(x), y

коэффициенты при

ex cos x : 2A A B 2B A 3B 10,

ex sin x : 2B B A 2A 3A B 0.

Получили систему

A 3B 10,

откуда A 1, B 3 .

3A B 0,

Подставляя найденные значения А, В в выражение для y (x) , получаем

x

( cos x 3sin x) . Таким образом, y C1e

x

C2e

2x

e

x

( cos x 3sin x) –

y (x) =e

1.

3y 2y 8y 0

(Ответ: y C1e2x

4

x

C2e 3 ).

2.

y 5y 0

(Ответ: y C1 C2e 5x ).

y 3y 0

(Ответ: y C1e

x

C2e

x ).

3.

3

3

4.

y 6y 9y 0

(Ответ: y C1e 3x

C2 xe 3x ).

4y 4y y 0

(Ответ: y C1e

x

C2 xe

x

5.

2

2

).

27

6.

y 2 2y 2y 0

(Ответ: y C1e 2x C2 xe 2x ).

7.

y 2y 10y 0

(Ответ: y e x (C1 cos3x C2 sin3x) ).

8.

y 16y 0

(Ответ: y C1 cos4x C2 sin 4x ).

9.

y 4y 6y 0

(Ответ: y e 2x (C1 cos

x C2 sin

x) ).

2

2

б) Решить задачу Коши

1.

y

y

(Ответ: y e

2x

2e

x

).

2y 0, y(0) 1, y (0) 4

2.

y

3y

0, y(0) 1,

(Ответ: y 1 2e

3x

).

y

(0) 6

3.

y

2y

(Ответ: y

e

x

(x 1) ).

y 0, y(0) 1, y (0) 2

2

x

4.

9y

12y

(Ответ: y e

3

(2x 3) ).

4y 0, y(0) 3, y (0) 0

5.

y

) 3

(Ответ: y 3cos x sin x ).

y 0, y( ) 1, y (

2

2

x

6.

4y

8y

(Ответ: y 2e

x

cos

).

5y 0, y( ) 0, y ( ) 1

2

Задание 3.2.

а) Проинтегрировать линейные неоднородные ДУ второго порядка с

правой частью специального вида

1.

y 6y 13y 13x2 x 4

(Ответ: y e 3x (C cos2x C

2

sin 2x) x2

x )

1

2.

y 4y 5y 5x3 7x2 3x 2

(Ответ: y e 2x (C cos x C

2

sin x) x3 x2 x )

1