59722

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. Это уравнение Бернулли

. Применим подстановку

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

302.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Чтобы

найти

решение задачи

Коши, подставим

x 1,

в общее

решение:

ln1

C 1

y xln x

- решение задачи Коши.

2 x

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

y p(x)y q(x)y ,

где p(x),q(x) -

заданные

функции, R ( 1,

0).

помощью

подстановки

y u v

решение уравнения Бернулли, как и решение линейного

ДУ, сводится к последовательному интегрированию двух ДУ с разделяющимися переменными.

Пример 1.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4xy 2xe x2 y .

y u v , где u u(x),

v v(x) – новые неизвестные функции.

uv ,

u v uv 4xuv 2xe

4xv) 2xe

uv .

u v u(v

Функцию v(x)

выберем так, чтобы выражение в скобках обращалось в

ноль:

v 4xv 0 .

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Находим v(x) как

частное решение этого ДУ:

4xv,

4xdx,

4xdx ,

2x2 , v e 2x2 .

Для определения u(x) также получаем ДУ с разделяющимися

переменными:

u e 2x2

2xe x2

u e 2x2

u 2x

2xdx,

2xdx ,

x2 C,

(x2 C)2

Тогда

y u v e 2x2 (x2 C)2 – общее решение исходного уравнения.

Практические задания

Задание 1.1.

а) Проинтегрировать уравнения

4 y2 dx ydy x2 ydy

(Ответ:

arctgx

4 y2 C

общий

интеграл).

6xdx ydy yx2dy 3xy2dx

(Ответ:(x2 1)

C(y2 2)

общий

интеграл).

y ln y xy 0

(Ответ: y e

- общее решение).

2x 2xy2

2 x2 y 0

(Ответ:

arctgy 2

2 x2 C

общий

интеграл).

(Ответ: cos y eCx - общий интеграл).

lncos ydx x tg ydy 0

(xy2 x)dx (x2 y y)dy 0

(Ответ: y2

1 C(x2 1)

общий

интеграл).

(1 e2x )y2 y ex

(Ответ: y 3

3arctgex

- общее решение).

x(1 e2 y )dx ex y dy 0

(Ответ: arctgey C xe x

- общий интеграл).

б) Решить задачу Коши

(1 ex )y yex ,

y(0) 2

(Ответ:

y C(ex 1)

- общее решение,

y ex 1 - решение задачи Коши).

x 5 y2 dx y

4 x2 dy 0,

y(1) 0

(Ответ:

(x2 4)(y2

5) C -

общий интеграл,

(x2 4)(y2

5) 25 - решение задачи Коши).

y sin2 x xy x, y(

) 0

(Ответ: y C sin xe xctgx 1- общее решение,

y sin xe xctgx 1 - решение задачи Коши).

4.	y(1 ln y) xy 0,				y(1) e				C	1
										1
						(Ответ: y e x - общее решение,
		2	1
y ex			- решение задачи Коши).
					Задание 1.2.
а) Проинтегрировать уравнения
1.	xy y xtg			y		(Ответ: sin	y	Cx - общий интеграл).
1.	xy y xtg			x		(Ответ: sin		Cx - общий интеграл).
				x			x
						12

x2 y2

(Ответ: y

y2 Cx - общий интеграл).

xy 2

(Ответ: y xln2

- общее решение).

(Ответ: arcsin

- общий интеграл).

(

x2 y2 y)dx xdy 0

x(ln x ln y)dy ydx 0

(Ответ: y(ln

1) C - общий интеграл).

x 2y

(Ответ: 2arctg

C x2 y2

- общий интеграл).

2x y

ydx (2

x)dy 0

(Ответ:

- общий интеграл).

C - общий интеграл).

1 y)dx xdy 0

(Ответ: 2

б) Решить задачу Коши

x 2y

, y( 1) 2

(Ответ:

y Cx2

- общее решение,

y x2 x - решение задачи Коши).

2. xy2dy (x3 y3 )dx,	y(1) 3	(Ответ: y x 3 3ln	C	- общее решение,
			x

y x 33(9 ln x ) - решение задачи Коши).

x 1, y(1) 0, y(1) 0

(Ответ: y x ln

- общее

решение,

xln

- решение задачи Коши).

xdy ydx ydy,

y(0) 1

(Ответ: Cy e y - общий интеграл,

y e y - решение задачи Коши).

Задание 1.3.

а) Проинтегрировать уравнения

C sin x

xy y cos x 0

(Ответ: y

- общее решение).

y y tg x cos2 x

(Ответ: y sin xcos x C cos x - общее решение).

2xy

1 x2 1 x

(Ответ: y (x C)(x

1) - общее решение).

ex2

(Ответ: y

ex2

- общее решение).

(ysin x 1)dx cos xdy 0

(Ответ: y C cos x sin x - общее решение).

(xy 1) y

1 0

(Ответ: x

(C ln(y

1)) - общий

y2 1

интеграл).

dx (sin2 y xctgy)dy 0

(Ответ: x C sin y sin y cos y - общее

решение).

(2x y 4ln y)y y

(Ответ: x 2ln y y 1 Cy2

- общий интеграл).

б) Решить задачу Коши

xsin x,

y( ) 0

(Ответ:

y x(C cos x)

- общее решение,

y x(1 cos x) - решение задачи Коши).

x2 ,

y(1) 1

(Ответ:

2x3

общее решение,

2x3

- решение задачи Коши).

7 x

2ln x

0, y(1) 2

(Ответ:

y 2ln x 2 Cx - общее

решение, y 2ln x 2 - решение задачи Коши).

ydx (x y2 )dy 0,

y(2) 1

(Ответ: x y2

Cy - общее решение,

x y2 y - решение задачи Коши).

Задание 1.4.

а) Проинтегрировать уравнения

(Ответ: y (x

)2 - общее решение).

(Ответ: y2 x4 (ln

C)- общий интеграл).

y xy (x 1)ex y2

(Ответ: y

- общее решение).

(Ответ: y (tgx

cos x

)2 - общее решение).

cos2 x

2(1 x2 y2 )dx

(Ответ: y

- общее решение).

x2 1 Cex

(Ответ:

- общий интеграл).

y x(x xy 1) 1

Ce y y

dx x(xey 2)dy 0

(Ответ: x

- общее решение).

Ce2 y

cos y tgy) 1

(Ответ: x

- общий интеграл).

xy (x

cos y 3 C 3tgy

sin ydx x(x2

cos y)dy 0

(Ответ: x

sin y

- общее решение).

2(cos y C)

б) Решить задачу Коши

y 2xy ,

y(0) 1

(Ответ: y

2 2x Ce x - общее решение,

- решение задачи Коши).

2 2x e x

(x2 y3 )dx xy2dy 0,

y(1) 2

(Ответ:

y x 3 C

- общее

решение, y x 3 5 3 - решение задачи Коши).

3(xy y) xy2 , y(1) 3

(Ответ:

- общее решение,

x(ln x C)

- решение задачи Коши).

x(1 ln x)

dx x(xey 2)dy 0, y( 1) 0

(Ответ: x

- общее

ey Ce2 y

решение,

- решение задачи Коши).

ey 2e2 y

Раздел 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия и определения

ДУ второго порядка может быть задано: в общем виде

F(x, y, y , y ) 0 ;

в разрешенном относительно старшей производной виде

				y
				y		f (x, y, y ).
	Задача Коши для ДУ второго порядка имеет вид
		y	f (x, y,					,
		y	f (x, y,		y ),		y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0	,
где		, т.е. в точке x x0		задаются значения искомой функции y(x) и
где	x0 , y0 , y0 R	, т.е. в точке x x0		задаются значения искомой функции y(x) и
ее производной
ее производной		y (x) . Геометрический смысл задачи Коши для ДУ второго

порядка состоит в том, что из множества интегральных кривых уравнения нужно выделить ту кривую, которая проходит через заданную точку (x0 , y0 )

под заданным углом к оси OX (тангенс угла равен y0 ).

Функция

y y(x, C1, C2 )называется

общим

решением

ДУ

второго

порядка в некоторой области G R3 , если

C C0

, C

а) при любых допустимых значениях констант

функция

y y(x, C0

, C0 ) является решением ДУ;

б) для

любой точки

(x , y

, y ) G

существуют

единственные

допустимые значения констант

C C0

, C

, такие, что

y(x, C0 , C0 ) y ,

y (x, C10 , C20 ) y0 .

Таким образом, общее решение ДУ второго порядка зависит от двух произвольных постоянных.

Частным решением ДУ второго порядка называется любое решение которое может быть получено из общего при конкретных значениях произвольных постоянных C1, C2 (включая значения ).

Общее решение, заданное в неявной форме

(x, y, C1 , C2 ) 0 ,

называют общим интегралом ДУ второго порядка. При конкретных значениях

констант C1 C10 , C2 C20 равенство

(x, y, C10 ,C20 ) 0 ,

задающее неявно частное решение ДУ, называют частным интегралом.

Один из основных методов решения произвольных ДУ второго порядка – понижение порядка уравнения. Рассмотрим некоторые типы ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1. y f (x) .

Общее решение находят двукратным интегрированием: y f (x)dx C1 ,

y f (x)dx C1 dx f (x)dxdx C1x C2 -

общее решение исходного уравнения.

F(x,

т.е.

ДУ

не содержит

искомой

функции y(x) .

y ) 0

Подстановкой

z(x),

(x) исходное уравнение сводится к ДУ первого

порядка относительно новой неизвестной функции z(x).

F(x,

, т.е.

ДУ

не

содержит независимой

переменной x.

y ,

y ) 0

Подстановкой

z(y),

z исходное уравнение

z (y (x))

(y) y (x) z

сводится к ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции z(y). Пример 2.1. Решить задачу Коши

y(0) 1,

y (0) 1.

Решение. Это уравнение вида

f (x) .

Находим его общее решение

двукратным интегрированием

y (x) (x e

)dx

y(x)

(

e x C )dx

e x C x C

Чтобы получить решение задачи Коши подставляем начальные условия

x 0, y 1, y

в y(x), y

(x):

1 0 e 0 C 0 C

1 0 e 0 C C 2

Подставляя

найденные

значения

C1 2, C2

в общее решение,

получаем решение задачи Коши:

y(x)

e x 2x 2 .

Пример 2.2. Проинтегрировать ДУ второго порядка, используя методы

понижения порядка:

y y tg x sin 2x .

Решение. Это уравнение вида F(x,

т.е. не содержит искомой

y ,

) 0 ,

функции y(x) . Используем

подстановку

z(x),

z (x). Получаем ДУ

первого порядка относительно неизвестной функции z(x):

z tg x z sin 2x .

Это линейное ДУ. Используем подстановку z u v :

u v uv tg xuv sin 2x

u v u(v tg xv) sin 2x .

Функцию v(x) находим как частное решение уравнения

v tg x v 0,

tg x v,

sin xdx

cos x

v cos x .

Функцию u (x) находим как общее решение уравнения

u cos x sin 2x,

u 2sin x,

u 2sin xdx 2cos x C1 .

Тогда

z(x) u v ( 2cos x C ) cos x 2cos2 x C cos x 1 cos2x C cos x .

Возвращаемся к исходным переменным:

y 1 cos2x C1 cos x,

y ( 1 cos2x C1 cos x)dx

sin 2x C sin x C

– общее решение исходного уравнения.

Пример 2.3. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения

порядка:

0 .

(y )

Решение. Это уравнение

вида

F(x,

т.е.

не

содержит х.

y ,

y ) 0 ,

Используем подстановку

z(y),

z .

z (y(x))

z (y) y (x) z

Подставляя выражения для

в исходное уравнение,

получим ДУ

первого порядка, где у становится независимой переменной, z(y) – неизвестной функцией:

y z z z2 0, z (y z z) 0, y z z 0 .

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

, ln

Так как y z , то получаем ДУ с разделяющимися переменными y C1 . y

Разделяем переменные и интегрируем :

ydy C1dx

C x C

общий интеграл исходного уравнения.

Практические задания

Задание 2.1.

а) Проинтегрировать уравнения

y xe x

(Ответ: y e x (x 2) C1x C2

- общее решение)

(Ответ: y xarctgx

ln(x2 1) C1x C2

- общее решение)

(Ответ: y xarcsin x

1 x2 C1x C2

- общее решение)

1 x2

б) Решить задачу Коши

cos

( ) 1

(Ответ:

y 4cos

C1x C2 - общее

, y( ) 1, y

решение, y 4cos

2x 2 1 - решение задачи Коши).

x ln x,

y(1)

(Ответ:

(2ln x 1) x C1x C2

y (1) 1

- общее решение, y

(2ln x 1) x

- решение задачи Коши).

2sin x

, y(0) 1,

(Ответ: y tgx C1x C2 - общее

cos3

y (0) 2

решение, y tgx x 1 - решение задачи Коши).

Задание 2.2. а) Проинтегрировать уравнения

y 2x

(Ответ: y

ln2

C1 ln

- общее решение).

x2 1

tg x y 2y

(Ответ: y C1 (2x sin 2x) C2

- общее решение).

xy y

(Ответ: y

C1 ln

- общее решение).

xln x y y 0

(Ответ: y C1x(ln x 1) C2

- общее решение).

y 2x

(Ответ:

C1arctgx C2

- общее решение).

x2 1

x( y 1) y 0

(Ответ:

y C1 ln

- общее решение).

(1 x2 )y 2xy

(Ответ: y C1 (x3

3x) C2

- общее решение).

y tg x y 1

(Ответ: y C1 cos x x C2

- общее решение).

xy y

(Ответ: y

C1x2

- общее решение).

10.

y ctg 2x 2y 0

(Ответ: y C1 sin 2x C2

- общее решение).

11.

x C1

- общее решение).

(y )

(Ответ: y C1x C1

C1x 1

12.

ln x)

(Ответ: y e

C2 ) C2

- общее решение).

y (ln y

б) Решить задачу Коши

y(2) 2,

(Ответ:

C1x

- общее решение,

y ,

y (2) 4

y x2 2 - решение задачи Коши).

y(1) 1,

(Ответ: y x C1 ln

- общее

y (1) 0

решение,

y x ln

- решение задачи Коши).

y(0) 1,

(Ответ: y

x C1e

- общее

y (0) 1

решение, y x2 x 1 - решение задачи Коши).

4.	(1 sin x) y				(Ответ: y C1 (x cos x) C2 -
			cos x y , y(0) 1,	y (0) 1

общее решение, y x cos x - решение задачи Коши).

Задание 2.3.

а) Проинтегрировать уравнения

1.y 3y2 (y )3

2.y (y )3 0

3.2y y 1 (y )2

4.y tg y 2( y )2

5.y y3 1 0

6.2(y )2 (y 1) y

7.yy (y )2 y

8.y (2 y) 4(y )2

9.y 2y(y )3 0

(Ответ: y4 C1 y C2 x - общий интеграл).

(Ответ: y2 C1 y 2x C2 - общий интеграл). (Ответ: 4(C1 y 1) (C1x C2 )2 - общий интеграл).

(Ответ: ctgy C2 C1x - общий интеграл). (Ответ: C1 y2 1 (C1x C2 )2 - общий интеграл).

(Ответ: y 1	1	- общее решение).

C1x C2

(Ответ: y C2eC1x 1 - общее решение).

(Ответ: (2 y)5 C1x C2 - общий интеграл).

(Ответ: y3 C1 y x C2 - общий интеграл). 3

10.

9(y

(Ответ: 3(y C1 )

x C2

- общий интеграл).

)

C1 y C2

x - общий интеграл).

11.

(Ответ:

y (y )

C eC1x

12.

(Ответ: y

- общее решение).

(y )

б) Решить задачу Коши

C1x

y(0) 2,

(Ответ:

y C2e

- общее решение,

(y )

y (0) 2

y 2e x - решение задачи Коши).

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025338.33 Кб05301.pdf
#
24.11.2025174.42 Кб057780.pdf
#
24.11.2025262.38 Кб058294.pdf
#
24.11.2025472.73 Кб058649.pdf
#
24.11.2025345.78 Кб058650.pdf
#
24.11.2025302.12 Кб059722.pdf
#
24.11.2025465.26 Кб06145.pdf
#
24.11.2025377.35 Кб06156.pdf
#
24.11.2025460.09 Кб062368.pdf
#
24.11.2025298.65 Кб06238.pdf
#
24.11.2025436.21 Кб06378.pdf