59722

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u v(x) q(x) ,

откуда u(x) q(x)e p( x)dxdx C .

Общее решение исходного уравнения имеет

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

302.12 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»

Методические указания и задания для проведения практических занятий по высшей математике со студентами экономических специальностей по теме

“Дифференциальные уравнения”

Учебное электронное издание

Минск 2 0 1 9

Автор: Н.А.Шавель

Рецензент: ведущий научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, кандидат физ. – мат. наук, доцент Заяц Г. М.

В каждом разделе настоящего пособия содержатся краткие теоретические сведения, а также примеры подробного решения типовых задач, иллюстрирующие основные методы, применяемые при интегрировании дифференциальных уравнений в рамках представленных тем. В заключение каждого раздела приводятся варианты заданий, которые могут быть использованы для решения в аудитории на практическом занятии, для домашних заданий, а также при самостоятельной подготовке студентов. Издание предназначено для студентов экономических специальностей, а также для преподавателей, ведущих практические занятия по данному курсу.

Содержание
Введение. Дифференциальные уравнения (ДУ). .....................................................	4
Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....................................	4
Основные понятия и определения..........................................................................	4
Уравнения с разделяющимися переменными.......................................................	5
Однородные уравнения ...........................................................................................	7
Линейные уравнения первого порядка..................................................................	9
Уравнение Бернулли..............................................................................................	11
Практические задания ...........................................................................................	12
Раздел 2. Дифференциальные уравнения второго порядка ..................................	15
Основные понятия и определения........................................................................	15
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение
порядка....................................................................................................................	16
Практические задания ...........................................................................................	18
Раздел 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ................	21
Основные понятия и определения........................................................................	21
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами............................................................................	21
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и
правой частью специального вида .......................................................................	23
Практические задания ...........................................................................................	27
ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................................................	31

Введение. Дифференциальные уравнения (ДУ).

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение

вида

F(x, y, y , y , ..., y(n) ) 0,

связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y y(x) и ее производные y , y , ..., y(n) .

Если дифференциальное уравнение записано в виде y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ),

то говорят, что оно разрешено относительно старшей производной.

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Решением ДУ называется функция y y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой ДУ. Процесс нахождения решений называется интегрированием ДУ.

Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и определения

ДУ первого порядка может быть задано: в общем виде


		F(x, y, y ) 0 ;
в разрешенном относительно производной виде
		y f (x, y);
с использованием дифференциалов
	P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 .
Функции	P(x, y),Q(x, y)	в последнем уравнении называют

коэффициентами при дифференциалах.

Задача Коши для ДУ первого порядка имеет вид y f (x, y), y(x0 ) y0 ,

где x0 , y0 R , т.е. из множества решений ДУ требуется выделить то, которое удовлетворяет дополнительному ограничению. Это дополнительное ограничение называют начальным условием. Геометрический смысл задачи Коши для ДУ первого порядка состоит в том, что из всего множества интегральных кривых уравнения нужно выделить кривую, проходящую через заданную точку (x0 , y0 ) .

Функция y y(x, C) называется общим решением ДУ первого порядка в области D R2 , если:

а)	при любом допустимом значении постоянной C C0 функция
y y(x, C0 ) является решением данного уравнения;
б)	для любой точки (x0 , y0 ) D существует единственное допустимое

значение константы C C0 , такое, что y(x0 , C0 ) y0 .

Частным решением ДУ называется любое решение которое может быть получено из общего при конкретном значении постоянной С (включая значения

C ).

Общее решение, заданное в неявной форме

(x, y, C) 0,

называют общим интегралом ДУ. При конкретном значении C C0 равенство

(x, y, C0 ) 0,

задающее неявно частное решение ДУ, называют частным интегралом.

Рассмотрим интегрирование некоторые классов ДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными

ДУ с разделяющимися переменными может быть представлено в виде

P1(x)Q1(y)dx P2 (x)Q2 ( y)dy 0,

если оно записано через дифференциалы, или в виде y f1 (x) f2 (y) ,

если оно разрешено относительно производной.

Таким образом, отличительной особенностью этого типа уравнений является возможность разделения переменных в коэффициентах при дифференциалах и в правой части разрешённого относительно производной ДУ. Процесс решения ДУ с разделяющимися переменными предполагает разделение переменных при дифференциалах .

Так, разделив обе части первого уравнения на выражение Q1(y) P2 (x) , получаем ДУ с разделенными переменными

P1(x) dx Q2 (y) dy 0 . P2 (x) Q1(y)

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем общий интеграл исходного ДУ

P1(x)dx Q2 (y)dy C . P2 (x) Q1(y)

При решении

уравнения вида

f1 (x) f2 (y)

следует

заменить

производную y на

выражение

и перейти к

записи

ДУ через

дифференциалы:

f (x) f

(y) .

Разделяя переменные, получаем уравнение

f (x) dx .

f2 (y)

После интегрирования обеих частей получаем общий интеграл исходного

ДУ

f (x)dx

f2 (y)

Пример 1.1. Проинтегрировать уравнение

xdx ydy x2 ydy xy2dx .

Решение. После простых алгебраических преобразований получаем

уравнения

(x xy2 )dx (x2 y y)dy ,

x(1 y2 )dx y(x2 1)dy .

Коэффициенты

при дифференциалах имеют

вид

P(x) Q(y),

следовательно, имеем ДУ с разделяющимися переменными. Делим обе его

части на выражение (x2 1) (1 y2 )

получаем

ДУ с разделёнными

переменными

dy .

x2 1

1 y2

Интегрируем обе части уравнения:

dy ,

x2 1

1 y2

1 d(x2 1) 1

d(y2 1)

x2 1

1 y2

x2 1

y2 1

C(x2 1)

y2 1 C (x2 1) - общий интеграл исходного уравнения.

Пример 1.2. Решить задачу Коши

y tg x y 1,

) 0 .

Решение. Разрешаем уравнение относительно производной:

y 1 y . tg x

Правая часть ДУ имеет вид f (x, y) f1(x) f2 ( y) , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Переходим к дифференциалам, разделяем переменные и интегрируем:

1 y

cos xdx

1 y

sin x

tg x

1 y

d sin x

1 y

sin x

1 y

C sin x

1 y

sin x

y C sin x 1,

C R

общее решение (решение

y 1,

которое было

«потеряно» после деления на y 1 входит в общее решение при

C 0 ).

Для нахождения решения задачи Коши подставим x

y 0 в общее

решение:

0 C sin

C 1

y sin x 1 - решение задачи Коши.

Однородные уравнения

В записи через дифференциалы однородное ДУ имеет вид

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ,

где коэффициенты при дифференциалах P(x, y), Q(x, y) являются однородными относительно x, y функциями одинакового порядка.

Замечание. Функция (x, y) называется однородной относительно x, y

функцией порядка k , если для любого t R имеет место (tx, ty) tk (x, y) . Если однородное ДУ разрешено относительно производной, то его всегда

можно представить в виде:

y		y
	f		,

		x

т. е. правая часть уравнения является однородной относительно x, y функцией

порядка k 0.	z z(x) – новая неизвестная функция,
Подстановкой y z x , где

однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции z(x).

Пример 1.3. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

2xydx (y2 x2 )dy 0.

Решение.

Коэффициенты

при

дифференциалах

P(x, y) 2xy ,

Q(x, y) y2 x2

являются

однородными

функциями

второго

порядка

относительно x, y:

P(tx, ty) 2 tx ty t2 2xy t2 P(x, y) ,

Q(tx, ty) (tx)2 (ty)2 t2 x2 t2 y2 t2 (x2 y2 ) t2Q(x, y), t R .

Следовательно, имеем однородное ДУ. Применяем подстановку y z x ,

где z z(x) – новая неизвестная функция. Тогда

dy d(z x) dz x z dx

и ДУ принимает вид:

2x2 zdx (z2 1)x2 (dz x zdx) 0 ,

(z3 z)dx x(z2 1)dz 0 .

Получили ДУ с разделяющимися переменными относительно

неизвестной функции z(x).

Делим обе его части на выражение (z3 z) x и

интегрируем:

z2 1

dz 0 ,

dz 0

z2 1

C .

Возвращаемся к исходным переменным, подставляя z

C .

y2 x2

Cy – общий интеграл исходного уравнения.

Пример 1.4. Решить задачу Коши

y x(y e

y(1) 0 .

Разрешим ДУ относительно производной:

Правая

часть

ДУ

имеет вид

значит, имеем однородное ДУ.

Применяем подстановку

y z x , где

z z(x) – новая неизвестная функция.

Тогда y

и после подстановки уравнение принимает вид:

z x z

z x z z e

z x e

z ez …… - это ДУ с разделяющимися переменными. x

Разделяем переменные и интегрируем:

e z dz

e z ln

z lnln

Возвращаемся к исходным переменным, подставляя z

lnln

y xlnln

- общее решение исходного уравнения.

x 1,

y 0 в общее

Для нахождения решения задачи Коши подставим

решение:

0 lnln

C e

y xlnln

xln(1 ln

) - решение задачи

Коши.

Линейные уравнения первого порядка

Линейное ДУ первого порядка имеет вид

y p(x)y q(x),

где p(x),q(x) -

заданные

функции,

т.

е. неизвестная

функция y(x)

и её

производная

y (x) входят в уравнение линейно.

Общее решение линейного ДУ можно найти с помощью подстановки

y u v , где

u u(x),

v v(x) – новые неизвестные функции. Данная подста-

новка сводит решение линейного ДУ первого порядка к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными. После подстановки исходное ДУ принимает вид

u v uv p(x)uv q(x) , u v u (v p(x)v) q(x) .

Поскольку одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, то можно выбрать v(x) так, чтобы последнее уравнение упростилось, а именно, чтобы v pv 0 . Для этого в качестве v(x) следует

выбрать любое частное решение ДУ с разделяющимися переменными v p(x)v ,

например, v(x) e p( x)dx .

Тогда u(x) следует находить как общее решение ДУ с разделяющимися переменными

dv dx , v x

Пример 1.5. Решить задачу Коши

y	y	2ln x,	y(1)	1	.

	x		2
Решение. Задача Коши поставлена для линейного уравнения первого
порядка. Применим подстановку y u v ,			где u u(x), v v(x) – новые
неизвестные функции.

u v uv uv 2ln x , x

u v u(v v ) 2ln x . x

Функцию v(x) выберем так, чтобы выражение в скобках обращалось в

ноль:

v v 0 . x

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Находим v(x) как

частное решение этого ДУ:

dv v , dx x

ln v ln x ,

Для определения u(x) также

x 1

получаем

ДУ с разделяющимися

переменными:

2ln x,

u 2xln x ,

u 2 xln xdx

a ln x

db xdx

ln x

dx) x

ln x

Тогда

y u v (x2 ln x

xln x

– общее решение исходного

уравнения.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025338.33 Кб05301.pdf
#
24.11.2025174.42 Кб057780.pdf
#
24.11.2025262.38 Кб058294.pdf
#
24.11.2025472.73 Кб058649.pdf
#
24.11.2025345.78 Кб058650.pdf
#
24.11.2025302.12 Кб059722.pdf
#
24.11.2025465.26 Кб06145.pdf
#
24.11.2025377.35 Кб06156.pdf
#
24.11.2025460.09 Кб062368.pdf
#
24.11.2025298.65 Кб06238.pdf
#
24.11.2025436.21 Кб06378.pdf