58650

образует с осями координат острые углы , 3, 4.

Решение.

Вычислим частные производные функции, описывающей поле в точке M0:

Вычислим направляющие косинусы:

Чтобы найти cos учтем, что сумма квадратов косинусов направляющих углов прямой в пространстве равна 1:

cos2 cos2 cos2 1,

откуда получаем, что cos2 12. Теперь можно записать производную по направлению:

21

5. Вычислить модуль и направление вектора градиента скалярно-

22

Теперь можно записать градиент в следующем виде: gradU 7i 9j 7k.

Модуль градиента

6. Вычислить угол между градиентами функций U 32 x2

Решение.

Вычислим частные производные для функции U x, y, z :

Вычислим частные производные для функции V x, y, z :

Vx 2xyz, Vy x2z, Vz x2 y,

тогда

23

Теперь можно вычислить угол между двумя векторами grad U

и grad V :

изотермы, проходящей через точку M1 3, 4 , t 300 C, а для изотермы, проходящей через точку M2 5,1 , t 350 °C. Найти приближенное значение grad t , считая, что линейные расстояния даны в миллиметрах.

Решение.

Видно, что изотермы представляют собой окружности с центром вначалекоординат.Радиусизотермы,проходящейчерезточкуМ1

Радиус изотермы, проходящей через точку М2

Следовательно, приближенно

24

8. Вычислить дивергенцию векторного поля

A x, y, z 2x2y 3xz2 6x2yz i 2xy4 x2yz z2 j

5xyz2 7xz 8yz k Pi Qj Rk

вточке M 1, 2, 3 .

Решение.

Вычислим частные производные:

Px 4xy 3z2 12xyz, Qy 8xy3 x2z, Rz 10xyz 7x 8y.

Тогда

откуда получаем

div A M 53 67 51 171.

9. Вычислить дивергенцию поля grad , ln x2 y2 z2 .

Решение.

Определим вектор grad x i y j z k.

Найдем частные производные:

25

Теперь

Вычислим частные производные:

Складывая полученные выражения для производных, получим

div grad x2 y22 z2 .

10. Вычислить ротор векторного поля A xyi y3zj x2z2k.

Решение.

Для вычисления ротора вектора A используем соотношение вида

26

Расписывая определитель, получаем

11. Вычислить ротор вектора линейной скорости тела V, враща-

ющегося по круговой орбите радиуса r с постоянной угловой скоростью

РешениеРадиус r. можно представить в виде r xi yj zk.

Аналогично, вектор угловой скорости запишем в виде

xi y j zk.

Связь V , и r определяется соотношением

V r ,

откуда получаем:

27

где Vx z y y z ;

Vy x z z x ;

Vz y x x y .

x z x z x z y y y z k 2 xi 2 y j 2 zk 2 .

12.Определить, является ли векторное поле A 4xy 12x2z i

2x2 3z3 j 4x3 9yz2 k потенциальным и, если является, вы-

числить его потенциал.

Решение.

Для того, чтобы векторное поле A было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие rot A 0. Вычислим ротор поля A:

28

Тогда

4xy 12x2z dx f1 y, z 2x2 y 4x3z f1 y, z ;

2x2 3z3 dy f2 x, z 2x2 y 3yz3 f2 x, z ;

4x3 9yz2 dz f3 x, y 4x3z 3yz3 f3 x, y .

Таким образом, потенциал

2x2 y 3yz3 4x3z C.

29

13. Показать, что для любого скалярного поля выполняется равенство rot grad 0.

Решение.

Известно, что grad x i y j z k , тогда

14. Записать уравнение движения несжимаемой жидкости.

Решение.

Будем рассматривать установившееся движение несжимаемой жидкости. Считаем, что оно является безвихревым. Следовательно,

его можно считать потенциальным, то есть для скорости V x, y, z движения жидкости выполняется соотношение

V grad .

Так как жидкость несжимаема, то ее плотность постоянна. Используем уравнение неразрывности:

t div V 0,

которое в данной задаче принимает вид divV 0.

30