58294

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из модулей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

262.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

			1
3.			1			(Ряд расходится.)
3.						(Ряд расходится.)
	n 3	n ln n ln ln n

		e			n
4.		e				(Ряд сходится.)


	n 1			n

Задание 1.5. Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость

ряды.

(Ряд сходится.)

n 1

2n 1

(Ряд расходится.)

3 3n4 2

n 1

(Ряд сходится.)

n 1

(1 cos

)

(Ряд сходится.)

n 1

1n 1)

(Ряд расходится.)

n 1

(Ряд сходится.)

n 1

Задания для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость ряды

(Ряд сходится.)

(2n 1)!

n 1

(Ряд расходится.)

n 1

(Ряд расходится.)

n 1

2n 1 n2

(Ряд сходится.)

n 1

(Ряд расходится.)

n 3

ln n 1

n 3

(Ряд сходится.)

(3n

1) ln

n 1

(2n 1)

n 1

n 2

n 1 n2

n 1

2n 1

9.33n4 nn 1


10.	n2 sin
10.	n2 sin				3
	n 1				n
		1
11.		1
11.		2	n
	n 2 ln		n
			1
12.			1
12.		ln n		ln n
	n 2	ln n

(Ряд сходится.)

(Ряд расходится)

(Ряд расходится.)

(Ряд расходится)

(Ряд сходится. Указание. Использовать свойство

логарифмов alogc b blogc a )

Раздел 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакоопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд un называется знакопеременным, если он содержит

n 1

положительные и отрицательные члены.

Знакопеременный ряд un называется абсолютно сходящимся, если

n 1

сходится ряд, составленный из модулей un .

n 1

Знакопеременный ряд un называется условно сходящимся, если он

n 1

сходится, но ряд из модулей un расходится.

n 1

При исследовании ряда на абсолютную сходимость составляют ряд из модулей и применяют к нему подходящий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов или необходимый признак сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

sin n

а) n 1 n2

Применим к данному знакоположительному ряду простой признак сравнения. Для

сравнения выберем обобщённый гармонический ряд вида n 1 n2 , для которого показатель степени знаменателя 2 1, т. е. данный ряд сходится. Так как

sin n	1	, n N , то согласно простому признаку сравнения ряд из модулей тоже

n2	n2

сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

n (n 1)

б) ( 1) 2

n 1

2n 1 3n 5

2n 1

Решение. Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из модулей

n 1

3n 5

Для

него

нарушен

необходимый

признак

сходимости:

2n 1

0 . Из условия

0 , очевидно,

lim

n 3n 5

следует limun 0,

т.е.

необходимый признак нарушен и для исходного ряда.

Исходный ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся

ряды вида

( 1)n 1un u1

u2 u3

... ( 1)n 1un ..., где un 0

для n N .

n 1

Признак

Лейбница

(достаточный

признак

сходимости

знакочередующихся рядов). Если члены знакочередующегося ряда ( 1)n 1un

n 1

удовлетворяют условиям:

1) un un 1 для любых n n0 N ;

2) lim un 0 ,

то ряд сходится, причём его сумма 0 S u1 .

Пример. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

	n 1	3n 1	2n
а) ( 1)
			.
		7n 5
n 1

	3n 1	2n

Решение. Составим ряд из модулей		. Применим к нему
	7n 5
n 1

радикальный признак Коши:

lim

3n 1 2n n un lim

n 7n 5

n	lim
	lim
	n

3n 1 2		3n 1	2	3 2
	lim					1
7n 5					7
	n 7n 5

Согласно радикальному признаку Коши ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

	(	1)	n 1
б)	(	1)		.
	3
	3
n 1		3n 2
											1											1
	Решение. Составим ряд из модулей										1			. Сравним его с рядом								1
									3													3
									3	3n 2												3	n
по предельному признаку сравнения:								n 1		3n 2											n 1		n
по предельному признаку сравнения:
					3												1
				lim	3	n	lim 3	n			3 lim			n			1			0 .
				lim			lim 3				3 lim									0 .
				n 3 3n 2			n 3n 2					n 3n 2					3 3

	Следовательно, ряды ведут себя одинаково. Ряд															1				является частным
																3
																3		n
															n 1			n
случаем обобщенного					гармонического			ряда					1		при				1		1, т.е.	он

												n 1 n
												n 1 n							3

расходится. Значит, ряд из модулей также расходится, т. е. абсолютной сходимости у исходного ряда нет.

Исследуем исходный ряд на условную сходимость. Это знакочередующийся

ряд. Применим признак Лейбница:

un 1, n N ;

3 3n 2

3 3n 1

lim un

lim

0 .

n 3

3n 2

Условия признака Лейбница выполнены, значит, ряд сходится. Так как абсолютной сходимости нет, то исходный ряд сходится условно.

		ln	n
в) ( 1)n 1		ln	n	.


n 1			n			n

	Решение. Составим ряд из модулей				ln		. Для сравнения по простому


				n 1		n

признаку сравнения выберем обобщённый гармонический ряд вида ,

n 1 n

который						расходится, так как степень знаменателя	1	1. Имеем

	ln	n	1			2
					,	n 2. Согласно простому признаку сравнения ряд из модулей тоже

		n		n

расходится. Абсолютной сходимости у исходного ряда нет.

Проверим, есть ли у исходного ряда условная сходимость. Применим признак Лейбница.

Проверим условие 1) признака Лейбница.

un 1

ln(

n 1)

n 1

Соотношение между

и un 1

в данном примере неочевидно, поэтому

введём функцию

f (x)

, x 0 ,

для

которой

имеет

место

условие

f (n) un , n N . Вычислим производную

ln x

2 ln x

2 x

при

x e

f (x)

2x 2

Следовательно,

начиная с номера n

8 e2 , члены последовательности

un заведомо убывают и условие 1) выполнено.

Проверим условие 2) признака Лейбница.

ln n

ln x

правило

limun

lim

(

) lim

lim

Лопиталя

2 x

(Чтобы воспользоваться правилом Лопиталя, перешли в пределе к непрерывному аргументу, заменяя переменную n на x .)

Таким образом, условие 2) тоже выполнено и, согласно признаку Лейбница, исходный ряд сходится. Так как абсолютной сходимости нет, то он сходится условно.

г) ( 1)n

n 1

Решение.

Составим ряд из модулей

. Применим к нему признак

Даламбера.

n 1

(n 1)2

2n 1

2x 1

правило

lim

(

) lim

lim 22x 1 ln 2 2 1

Лопиталя

(n 1)! 2n

n n 1

x x 1

(Чтобы воспользоваться правилом Лопиталя, перешли в пределе к непрерывному аргументу, заменяя n на x .)

По		признаку Даламбера ряд из модулей расходится. Кроме того, так как
lim	un 1		1, то для ряда из модулей нарушен необходимый признак сходимости, а,


		un
n

значит, он нарушен и для исходного ряда. Исходный ряд расходится.

Задания для решения в аудитории.

Задание 2.1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременные ряды.

cos n

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

sin n

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

3 n7 1

1 2cosn (ln 2)n

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

n sin

(Ряд расходится.)

n 1

Задание

2.2.

Исследовать

на абсолютную и условную сходимость

знакочередующиеся ряды.

( 1)n 1

(Ряд расходится.)

2n 1

n 1

( 1)

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

3n 1

( 1)

(Ряд сходится условно.)

n ln n

n 2

( 1)

(Ряд расходится.)

n 1

( 1)n 1 (2n 1)

(Ряд сходится условно.)

n 1

( 1)n

(Ряд сходится абсолютно.)

n 2

n 1 n 1

( 1)

(Ряд расходится.)

n 1

( 1)

ln n

(Ряд сходится условно.)

n 1

( 1)

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

sin n

	3n 5
10. ( 1)n 1	3n 5		(Ряд сходится условно.)

		n3
n 1		n3

( 1)n en

1.(3n)!n 1

( 1)n 1 n 2. n 1 ln(n 2)

( 1)n 1

n 1 n2 n

Задания для самостоятельного решения.

(Ряд сходится абсолютно.)

(Ряд расходится.)

(Ряд сходится условно.)

4. ( 1)n 1

(ln 2)n

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

( 1)

n 1

(Ряд сходится условно.)

n 1

2n 1

6. ( 1)

(Ряд расходится.)

2n 3

n 1

2n 1

7. ( 1)

(Ряд сходится абсолютно.)

2n 3

n 1

2n 3

8. ( 1)

(Ряд расходится.)

2n 1

n 1

9. ( 1)n

(Ряд сходится условно.)

n 1

10. ( 1)n

lg(1 0,5n ) en (Ряд расходится.)

n 2

11. ( 1)n 1

(Ряд сходится абсолютно.)

n 1

12. ( 1)

1 cos

(Ряд сходится условно.)

n 1

Раздел 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

В предыдущих разделах рассматривались ряды, членами которых являлись числа, то есть числовые ряды. Перейдём к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, а именно, степенные функции.

Степенными называются ряды вида

an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ...,

n 0

где an R – коэффициенты степенного ряда, точка x0 R – центр ряда. Подставим в степенной ряд произвольное значение x R . Если полученный

при этом числовой ряд сходится, то х называют точкой сходимости степенного ряда, если расходится, то х называют точкой расходимости степенного ряда. Множество всех точек сходимости образует область сходимости D степенного

ряда. Отметим, что множество D всегда непустое, так как центр ряда x0

всегда

содержится в D.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при

x x1 0 ,

то

он

абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих условию

Следствие. Если степенной ряд расходится при x x2 ,

то он расходится

при всех значениях x , удовлетворяющих условию

Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда существует

число

0 R ,

называемое

радиусом сходимости,

такое,

что

при

x (x0

R; x0 R)

этот

ряд

сходится

абсолютно,

при

x ( ; x0 R) (x0

R ; )

расходится. Интервал (x0 R ; x0 R)

называют

интервалом сходимости степенного ряда. Вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. в точках x0 R решается в каждом конкретном случае отдельных исследованием.

Для определения радиуса сходимости R можно использовать формулы, следующие из признаков Даламбера и Коши:

R lim		an	или R lim	1		,

	an 1


n			n n		a
					n

если в правых частях равенств существуют конечные или бесконечные пределы.

( 1)n (x 2)n

Пример. Найти область сходимости ряда

n 3

n 1

Решение. Это степенной ряд с коэффициентами a

( 1)n

, центром ряда

n 3n

x0 2 . Определим радиус сходимости.

( 1)n 3n 1

R lim

n 1

lim

3lim

lim 1

3 .

an 1

n 3n ( 1)n 1

Следовательно,

ряд

сходится в

интервале ( 5 ; 1)

расходится при

x ( ; 5) (1; ) .

Проведем

исследование

на

концах

интервала

сходимости.

		1				1
При x 5	получаем обобщенный гармонический ряд			,			1 и,

	n 1		n		2

следовательно, ряд расходится. Точку x 5 не включаем в область сходимости.

При x 1 получаем знакочередующийся ряд

(

который сходится условно

n 1

по признаку Лейбница. Точку x 1 включаем в область сходимости.

Область сходимости D ( 5 ;1].

n 2

Пример. Найти область сходимости ряда

2n 1

n 1

Решение.

Это степенной ряд с коэффициентами an

n 2

, центром

2n 1

ряда x0 0 . Определим радиус сходимости.

2n 1

R lim

lim

2 .

n n

n n 2

Следовательно, ряд

сходится в

интервале

( 2 ; 2) и

расходится при

x ( ; 2) (2 ; ) .

Проведем

исследование

на

концах

интервала

сходимости.

n 2

При x 2

получаем числовой ряд

, для которого

2n 1

n 1

n 2 n

2n 4 n

2n 4

lim un lim

lim

( 1

) lim 1

2n 1

n 2n 1

2n 1

lim

lim 1

2n 1

т. е. нарушен необходимый признак сходимости.

При x 2 получаем знакочередующийся числовой ряд для которого аналогично

5n 5

2n 1 e 2 0 ,

	n 2	n	n

		( 2)		,
	2n 1
n 1

lim un e2 lim( 1)n 0.

n n

Следовательно, точки x 2 не включаем в область сходимости. Область сходимости D ( 2 ; 2) .

Задания для решения в аудитории.

Найти область сходимости D степенного ряда

( 1)n (x 1)n

(Область сходимости D 4;6 )

n 1

( 1)

n 1

(x 1)

(Область сходимости D 2;0 )

n ln n

n 2

2n 1 n

(Область сходимости D ( 1; 1) )

n 1

2n 1

(x 2)n

(Область сходимости D 2 )

n 1

(x 3)

(Область сходимости D 2;4 )

n ln n

n 2

(Область сходимости D )

n 1

(Область сходимости D 1;1 )

(3n

1)xn

n 1

(Область сходимости D 2;0 )

arcsin

(x 1)n

n 2

(x 4)n

(Область сходимости D 4 )

n 1

10.

sin n 2

(x 2)n

(Область сходимости D )

n 1

Задания для самостоятельного решения.

3n (x 1)n

4 2

(Область сходимости D

;

)

n 1

3 3

(Область сходимости D e;e )

( e)

2n 3

n 1

( 1)n 1 (x 3)n

(Область сходимости D 4; 2 )

n ln

n 2

(x 5)

(Область сходимости D ( 6; 4))

n 1

n 2

(x 2)

(Область сходимости D ( 1;5) )

n 1

3n 1

(x 7)

(Область сходимости D (5; 9) )

n 1

arctgn

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025402.42 Кб05151.pdf
#
24.11.2025458.02 Кб051534.pdf
#
24.11.2025464.93 Кб052356.pdf
#
24.11.2025338.33 Кб05301.pdf
#
24.11.2025174.42 Кб057780.pdf
#
24.11.2025262.38 Кб058294.pdf
#
24.11.2025472.73 Кб058649.pdf
#
24.11.2025345.78 Кб058650.pdf
#
24.11.2025302.12 Кб059722.pdf
#
24.11.2025465.26 Кб06145.pdf
#
24.11.2025377.35 Кб06156.pdf