Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

58294

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

262.38 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»

Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами экономических специальностей по теме «Ряды»

М и н с к 2 0 1 9

УДК 51(075.4)

ББК 22.1я7

М 54

Составитель: Н.А. Шавель

Рецензенты:

В каждом разделе настоящего пособия содержатся краткие теоретические сведения, а также примеры подробного решения типовых задач, иллюстрирующие основные приёмы, применяемые при исследовании сходимости рядов. В заключение каждого раздела приводятся варианты задач для решения в аудитории на практическом занятии, а также задачи для самостоятельного решения различных уровней сложности. Издание предназначено для студентов экономических специальностей, а также для преподавателей, ведущих практические занятия по данному курсу.

Содержание
Раздел 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Знакопостоянные
ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. ..................	4
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости...............................................	4
Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости
знакоположительных рядов. .......................................................................................	5
Задания для решения в аудитории. ............................................................................	9
Задания для самостоятельного решения. ................................................................	11
Раздел 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница..........................................................	12
Знакоопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. ..........................	12
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. .....................................................	13
Задания для решения в аудитории. ..........................................................................	16
Задания для самостоятельного решения. ................................................................	17
Раздел 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости
степенного ряда. ............................................................................................................	17
Задания для решения в аудитории. ..........................................................................	19
Задания для самостоятельного решения. ................................................................	20
Самостоятельная работа............................................................................................	21
ЛИТЕРАТУРА ...............................................................................................................	25

Раздел 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости.

Пусть дана числовая последовательность un . Числовым рядом называется выражение вида

un u1 u2 ... un ...

n 1

Числа u1, u2 , ..., un , ... называют членами ряда, un – общий член ряда.

Сумму n первых членов ряда называют n – ой частичной суммой ряда и обозначают

Sn u1 u2 ... un ui .

i 1

Если существует конечный предел lim Sn S , то ряд называют сходящимся,

а число S называют его суммой. Если последовательность Sn не имеет конечного предела при n , то говорят что ряд расходится.

Свойства рядов

1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если добавить, отбросить или изменить конечное число его членов.

2. Если ряд un сходится и его сумма равна числу S, то ряд с un , где с –

n 1

любое число, тоже сходится, и его сумма равна с S . Если же ряд un

n 1

расходится и числоc 0 , то ряд с un тоже расходится.

n 1

3.Если ряды un и vn сходятся, а их суммы равны S1 , S2 , то ряд

n 1 n 1

(un vn ) тоже сходится, а его сумма равна S1 S2 .

n 1

Для выяснения сходимости рядов применяют специальные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости. Если ряд un сходится, то

n 1

lim un 0 .

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Стандартный

	1
пример – ряд		, называемый в теории рядов гармоническим рядом. Данный

n 1	n

ряд расходится, несмотря на выполнение условия lim un 0 .

Следствие (достаточное условие расходимости). Если lim un 0 или не

существует, то ряд un расходится.

n 1

Пример. Исследовать на сходимость ряды.

		5n 1
а)		5n 1	.
а)			.
n 1		3n 4
	Решение. Вычислим							1
					5n 1		5	1	5
			lim un				5	n		0.

				lim		lim
				lim		lim		4	3
			n	n 3n 4		n	3	4	3
							3

Согласно следствию из необходимого признака ряд расходится.

		2		n2
	2n		3

б)				.
	2n	2	1
n 1

Решение. Вычислим

	2n2 3 n2												2n2 3					n2							4		n2
lim un						=(1 ) lim 1												1			lim		1
lim un		2n	2	1		=(1 ) lim 1									2n	2	1	1			lim		1	2n	2	1
n 1		2n		1					n						2n		1				n			2n		1
n									n												n
										2n2					4n2
							4					1		2n2 1					4n	2
												1		2n2 1						2
											4							lim				2
																		lim
		lim			1												e	n 2n2 1			e		0.

								2
			n				2n	2	1
							2n		1

Согласно следствию из необходимого признака ряд расходится.

Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным (знакоотрицательным), если его члены un 0 (un 0), n N . Знакоположительные и знакоотрицательные ряды называют знакопостоянными. Так как знакоотрицательные ряды легко перевести в знакоположительные путём умножения на (-1), что не влияет на их сходимость, то все нижеследующие признаки формулируются для знакоположительных рядов.

1. Признак Даламбера.


	Пусть дан знакоположительный ряд un и существует конечный или
				un 1	n 1
бесконечный предел lim				un 1	l . Тогда ряд сходится при l 1 и расходится при
бесконечный предел lim					l . Тогда ряд сходится при l 1 и расходится при
			n	un
l 1. При l 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.
Пример. Исследовать на сходимость ряды
	n	2
а)	3 n
а)	(2n 1)!
n 1	(2n 1)!
	Решение.
	Применим признак Даламбера

3n n2

, un 1

3n 1 (n 1)2

3n 1(n 1)2

(2n 1)!

(2(n 1) 1)!

(2n 3)!

1 2

un 1

n 1

(n 1)

(2n 1)!

0 1.

lim

3lim

n un

(2n 3)! 3n n2

n (2n 2)(2n 3)

По признаку Даламбера ряд сходится.

5n n!

б) n 1 nn

Решение.

Применим признак Даламбера

5n n!

, u

n 1

5n 1

(n 1)!

(n 1)n 1

n 1

5n 1 (n 1)! nn

(n 1) nn

lim

5lim

n un

n (n 1)n 1

5n n!

n (n 1)n

(n 1)

n n 1 n

5lim

По признаку Даламбера ряд расходится.

2. Радикальный признак Коши.

Пусть

дан

знакоположительный

ряд

и существует

конечный или

n 1

бесконечный предел lim n

l . Тогда ряд сходится при l 1 и расходится при

l 1. При l 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.

lim

Пример. Исследовать на сходимость ряд

7n 1 2 а) n 1 3n 5

Решение. Применим радикальный признак Коши:

7n 1

lim

lim n un

lim

3n 5

n 3n 5

По радикальному признаку Коши ряд расходится.

n 2 n2 б)

n 1 n 3

Решение. Применим радикальный признак Коши:

lim


		n 2 n2 n	n 2 n

n un	lim		lim	lim 1

	n	n 3	n n 3	n

1	n
		1
n 3		1
n 3

подгонка под второй				(n 3)	n
подгонка под второй			1	(n 3)	n 3
	lim	1	1			e
	lim	1				e

замечательный предел	n		n 3
замечательный предел	n		n 3

По радикальному признаку Коши ряд расходится. Замечание. Если при использовании признака Даламбера

признака Коши получено значение предела l 1, то в этой

нарушен необходимый признак сходимости, т. е. lim un 0 .

2. Интегральный признак Коши.

n n 3 e 1 1.

или радикального ситуации всегда

Пусть дан знакоположительный ряд un . Если функция f (x)

непрерывна,

n 1

монотонно

убывает на промежутке [a ; ), a 0 ,

f (u) un

для

любых

n n0

N ,

то несобственный интеграл

f (x)dx и

ряд

сходятся

или

расходятся одновременно.

n 1

Пример. Исследовать на сходимость ряд

n 2 n ln n

Решение. Применим интегральный признак Коши. Пусть

f (x)

–

xln x

непрерывная, монотонно убывающая на промежутке [2 ; ) функция,

f (n)

un , n 2 , т. е. для f (x) выполнены все условия интегрального признака

nln n

Коши. Вычислим

	f (x)dx		dx		d ln x	ln ln x		lim ln ln x ln ln 2 ,


			x ln x		ln x		2	x

2		2		2

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

n 1 (3n 1) ln2 (3n 1)

f (x)

Применим

интегральный

признак

Коши.

Пусть

–

непрерывная,

монотонно убывающая

на

промежутке

(3x 1)ln2 (3x 1)

[1; ) функция,

f (n)

un , n N ,

т. е.

для функции

f (x)

(3n 1)ln2 (3n 1)

выполнены все условия интегрального признака Коши . Вычислим

d ln(3x 1)

f (x)dx

(3x 1)ln2 (3x 1)

ln2 (3x 1)

3ln(3x 1)

( lim

)

ln 2

3ln 2

x ln(3x 1)

ln 2

т.е. несобственный интеграл сходится. Следовательно, исходный ряд тоже сходится.

4. Признаки сравнения.

Простой признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

un	, vn , причем un vn для любых		n n0 N . Тогда из сходимости ряда
n 1	n 1

vn	следует сходимость ряда un , а		из расходимости ряда un следует
n 1		n 1	n 1

расходимость ряда vn .
		n 1
	Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных

ряда un ,		vn . Если
	n 1	n 1

lim un C , где 0 C ,

n vn

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. При использовании признаков сравнения в качестве рядов, с которыми проводится сравнение исходного ряда, часто используются следующие:


	а) ряд геометрической прогрессии			bqn ,b 0 , который сходится при
q	1 и расходится при	q	1;	n 0
q	1 и расходится при	q	1;		1

	б) обобщенный гармонический ряд					, который сходится при	1 и
	б) обобщенный гармонический ряд					, который сходится при	1 и
				n 1	n

расходится при 1.

Пример. Исследовать на сходимость ряды.

а)

n 1

2 3

Используем

простой

признак

сравнения.

Так

как

1 n

vn , n N ,

ряд

сходится как

ряд

2 3

n 1

геометрической прогрессии со знаменателем 0 q

то исходный ряд также

сходится.

2n 1

б)

n 1

2n 1

Используем

предельный

признак

сравнения.

Здесь

Для

3n2 5

сравнения возьмем гармонический ряд с общим членом v

. Тогда

(2n 1)n

2n2

lim

3n2 5

n v

n 3n2

5 3

т.е. предел конечен и отличен от нуля. Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд также расходится.

Задания для решения в аудитории.

Задание 1.1. Используя необходимый признак сходимости, исследовать на сходимость ряды.

n 2

1.n 1 5n 1

2. ( 1)n 2n 1

n 1

3. (3 ( 1)n )

n 1

3n 1 5n

(Все ряды расходятся.)

n 1

ряды.

Задание 1.2. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость

(2n

1)!

(Ряд расходится.)

n 1

(Ряд сходится.)

(n 1)!

n 1

(0,3)

(Ряд сходится.)

n 1

(Ряд расходится.)

n 1

(2n)!

(Ряд расходится.)

(n!)

n 1

Задание 1.3. Используя радикальный признак Коши, исследовать на

сходимость ряды.

5n 3 2n

(Ряд сходится.)

n 1

4n 3

(Ряд расходится.)

n 1

3n 1

2n 1 n2

(Ряд сходится.)

n 1

(Ряд расходится.)

n 1

arctg

(Ряд расходится.)

n 1

Задание 1.4. Используя интегральный признак Коши, исследовать на

сходимость ряды.

(Ряд сходится.)

n 2

n ln

(Ряд расходится.)

(2n 1)

n 1

ln(2n 1)

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025402.42 Кб05151.pdf
#
24.11.2025458.02 Кб051534.pdf
#
24.11.2025464.93 Кб052356.pdf
#
24.11.2025338.33 Кб05301.pdf
#
24.11.2025174.42 Кб057780.pdf
#
24.11.2025262.38 Кб058294.pdf
#
24.11.2025472.73 Кб058649.pdf
#
24.11.2025345.78 Кб058650.pdf
#
24.11.2025302.12 Кб059722.pdf
#
24.11.2025465.26 Кб06145.pdf
#
24.11.2025377.35 Кб06156.pdf