Вариант № 14
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
а =1, а = ∞ |
в) |
lim |
|
|
4x −3 −3 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −9 |
|
|
||||
|
4x 3 −2x 2 |
+5x |
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
; |
|
|
arctg 2x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→a |
3x 2 |
+7x |
|
|
г) |
lim |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8x 4 |
+ 4x −5 |
|
|
|
x→0 |
|
|
tg3x |
|
|
|
|||
б) lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|||||
4x 2 −3x + 2 |
|
|
|
|
|
x −2 |
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
|
3 |
, |
x < -1; |
|
x |
|
|||
y = x |
−1, |
−1 |
≤ x ≤ 3; |
|
− x +5, |
|
x > 3. |
||
|
|
|
|
|
3. Найти производные.
а) y =8x3 − 4x − x74 + 7 x2 ;
б) y = tg3 2x arccos 2x3 ;
в) y = 4−sin x arctg3x ;
г) y = 3 (x (−2)5 ()x −1) 2x −1 ;
x +3 4
д) x2 y2 + x = 5y ;
е) y = 1 +xx .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
1- tgx |
; |
б) lim |
ln(1 + x 2 ) |
. |
|
1 +cos4x |
||||||
cos 3x −e−x |
||||||
x→π |
|
x→0 |
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
640 .
31
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = x2 − x −1 , х =1, х = 3. x2 −2x
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++91 ; s( p) = p +3.
32
1. Вычислить пределы. а) при а = 0, а = 3, а = ∞
lim |
|
3x 2 |
+5x −1 |
; |
|
|||
|
x 2 |
|
|
|||||
x→а |
|
−5x +6 |
|
|||||
б) lim |
3x 2 |
−4x + 2 |
; |
|||||
6x 2 |
+5x +1 |
|||||||
|
x→∞ |
|
||||||
Вариант № 15
в) |
lim |
2 − x 2 |
+ 4 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
3x 2 |
|
|
|
|||
г) |
lim |
tg3x −sin 3x |
; |
|||||
|
|
|||||||
|
x→0 |
2x 2 |
|
|||||
д) |
|
x +3 |
2 x |
|
||||
lim |
|
|
. |
|
||||
3x −1 |
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
x, |
|
x < -2; |
|
|
|
|
−2 ≤ x ≤1; |
y = − x +1, |
|||
|
2 |
−1, |
x >1. |
x |
|
||
3. |
Найти производные. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
5 1 |
|
5 |
|
4 |
; |
|
|
6 (x −1)5 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y =8x − x4 + x |
− |
|
x |
|
г) |
y = |
|
ex |
|
; |
|||||
|
|
(x + 2)4 (x −5)7 |
|
||||||||||||
б) |
y = sin5 3x arctg |
|
x ; |
|
д) |
siny = xy2 +5 ; |
|
|
|||||||
в) |
y = 2cos x arcctg3 x ; |
|
|
е) |
y = |
x + 7 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя. |
|
|
||||||||||||
а) |
lim |
1/ cos2 x - 2tgx |
; |
|
|
б) |
lim |
(a1/x −1)x . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||
1 +cos4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
3 1,4 .
33
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = x2 +6x , х =1, х = 2. x2 +1
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++84 ; s( p) = p +1.
34