Вариант № 10
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а = −1, а = ∞ |
в) |
lim |
|
3x +17 − 2x +12 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+8x −15 |
|||||
|
|
7x 2 |
+ 4x −3 |
|
|
|
x→−5 |
|
|
|
|||||||
lim |
|
; |
|
|
|
tg2x - sin2x |
|
|
|||||||||
|
3x 2 |
|
|
г) |
|
; |
|
||||||||||
x→а |
|
+3x +1 |
|
lim |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4x3 +5x −7 |
|
|
x→0 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||
б) lim |
; |
|
|
|
|
x −7 |
|
2 x+1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
2x |
2 |
− x +10 |
|
д) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
|
2 |
, |
x ≤ 0; |
2x |
|
||
y = x, |
|
0 |
< x ≤1; |
2 + x, |
x >1. |
||
|
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 4x6 + 5x + 3 x7 − x74 ;
б) y = tg5 3x cos4 5x ;
в) y = ln(x −10) arcsin5 x ;
г) y = (x + 2) (x −7)4 e5 x ;
3 (x −1)4
д) y2 +19x − y = 0 ;
е) y = xe6 x .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
m |
m |
|
а) lim |
− |
; |
б) lim |
x |
|
−a |
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
|
|
|||||||
|
x n |
−a n |
|||||||||
x→0 |
x sin x |
|
|
|
x→a |
|
|||||
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
3 27,5 .
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
23
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = |
|
5x |
, |
х =1, х = 3. |
|
4 |
− x2 |
||||
|
|
|
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого
товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++71 ; s( p) = p + 2.
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 11 |
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить пределы. |
в) lim |
|
|
2x + 2 − 2 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) при а = 0, |
а = −5, а = ∞ |
x→0 |
|
|
x 2 +1 −1 |
|
|||||||||||||
|
|
4x 2 |
|
+19x −5 |
; |
|
г) lim |
|
sin7x +sin 3x |
; |
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x sinx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||
|
2x |
2 |
+11x +5 |
|
|
|
|
||||||||||||
x→а |
|
|
|
|
|
|
5x −3 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
д) lim |
|
|
||||
б) |
lim |
|
3x |
|
+ 2x +1 |
; |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x − 2 |
|
|||||||
|
|
4 |
−3x |
3 |
+ 2x |
|
|||||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
3x + 4, |
x ≤ -1; |
|
|
−2, 1 < x < 2; |
|
y = x 2 |
||
x, |
|
x ≥ 2. |
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 3 x + x45 + 3 x2 − 7x
б) y = sin2 3x acrcctg3x5 ;
в) y = log3 (x +1) arctg7x
г) y = (x + 4)3 (x −2)4 ex3 ;
3 (x −2)5
д) tgy = 3x +5 y ;
е) y = ln(x + 4) .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim x sin(3/x) ; |
б) |
lim |
a х −b x |
x→∞ |
|
||
|
|||
|
|
x→0 x 1 − x 2 |
|
5. Вычислить приближенное значение использованием дифференциала.
4 15,8 .
.
выражения с
25
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = |
|
x3 |
|
, х = 2, х = 3. |
|
x2 |
− x +1 |
||||
|
|
||||
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++83 ; s( p) = p +1.
26