1. Вычислить пределы. а) при а = 0, а = 3, а = ∞
lim |
|
3x 2 |
−7x −6 |
; |
|
|||
|
2x 2 |
|
|
|||||
x→а |
|
−7x +3 |
|
|||||
б) lim |
2x 2 |
+7x +3 |
; |
|||||
5x 3 |
−3x + 4 |
|||||||
|
x→∞ |
|
||||||
Вариант № 8
в) |
lim |
|
|
|
2x2 |
−9x + 4 |
|
; |
|
|
|
|
5 − x − x − |
3 |
|||||
|
x→4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
1- cos2x |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
д) |
|
|
|
x +3 |
x |
|
|
||
lim |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
x −1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
x −3, |
x < 0; |
|
|
y = x +1, 0 ≤ x ≤ 4; |
|
|
x > 4. |
3 + x, |
|
3. |
Найти производные. |
|
|
|
|
|
||||||
а) y = 3 x7 − 3 −4x5 |
+ |
|
4 |
; |
|
г) |
y = |
(x −7)10 (3x −1) |
4−3x |
|||
|
5 |
|||||||||||
|
(x +3)5 |
|||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||
б) |
y = cos2 4x tg 2x ; |
|
|
|
д) |
4sin2 y − x = 0 ; |
|
|||||
в) |
y = ln3 x arccos3x ; |
|
|
|
е) |
y = ln(x + 4) . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя. |
|
||||||||||
а) |
lim |
tg2x - x |
; |
|
|
|
б) lim |
lnx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
x −sin x |
|
|
|
x→0 |
ctgx |
|
|
|
||
5. |
Вычислить |
приближенное |
значение |
заданного выражения с |
||||||||
использованием дифференциала.
(2,01)3 +(2,01)2 .
19
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = |
x2 |
|
, х =1, х = 2. |
|
4x2 −1 |
||||
|
|
|||
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++92 ; s( p) = p + 4.
20
Вариант № 9
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а = −1, а = ∞ |
в) |
lim |
|
|
|
2x +1 − x +6 |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 −7x −15 |
|
||||||||||
|
|
3x 2 |
+ 2x −1 |
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
4x - sin |
2 |
2x |
|
|
|||||||
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→а |
|
+ x −2 |
|
г) |
lim |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
- x 3 +3x +1 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) lim |
; |
|
|
2x |
3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3x 2 + x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
1- x , |
x ≤ 0; |
|
y = 0, |
0 |
< x ≤ 2; |
x −2, |
|
x > 2. |
|
|
|
3. |
Найти производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) y =8x2 + 3 x |
4 − |
4 |
− |
2 |
; |
г) |
y = |
(x +8)8 (x −3)2 |
ex 2 ; |
|||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
(x + 2) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y = tg3 2x cos3 x ; |
|
|
д) |
tgy - 4 y +5x = 0 ; |
|
||||||||||||
в) |
y = ln2 (1 − x) arctg 2x ; |
|
||||||||||||||||
е) |
y = cos 3x . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя. |
|
|
|||||||||||||||
а) |
lim |
(2x +3) |
4 |
; |
|
|
|
|
б) lim |
|
|
x - a |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
n |
−a |
n |
|
|
|||||||
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|||
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
3 65 .
21
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график. y = x2 −2ln x , х =1, х = е.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++82 ; s( p) = p +3.
22