Вариант № 6
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
а = 2, |
а = ∞ |
в) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x 3 −8 |
|
; |
|
|
|
|
x |
2 |
+ x −6 |
|
г) |
||||
x→а |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
3x 2 +10x +3 |
; |
|
|||||
|
|
2x 2 +5x −3 |
д) |
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|||||
lim |
|
|
x2 |
−3x +2 |
; |
||
|
|
5 − x − x +1 |
|||||
x→2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
acrsin5x |
; |
|
||||
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
x +3 −5 x |
|
||||
lim |
|
|
|
. |
|
||
x |
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
- x, |
|
x ≤ 0; |
|
|
< x ≤ 2; |
y = x 2 , 0 |
||
x + |
1, |
x > 2. |
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 5x2 −3 x4 + x43 − 5x ;
б) y = cos5 3x ctgx ;
в) y = ln2 (1 + x) arccos x3 ;
г) y = (x −1)4 (x + 2)5 ex3 ;
3 (x −4)2
д) y - ey + 4x = 0 ;
е) y = e4 x .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
ex |
; |
б) |
lim |
1 - sin3x |
. |
|
|
|||||||
x5 |
|||||||
x→∞ |
|
|
x→π |
cos3x |
|||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
5. Вычислить |
приближенное значение |
заданного выражения с |
|||||
использованием дифференциала.
3 10 .
15
6. Зависимость между издержками производства у и объемами
производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = x + lnxx , х = 2, х = 5.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++93 ; s( p) = p + 2.
16
Вариант № 7
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
а =1, |
а = ∞ |
в) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x 2 −1 |
; |
|
|
||
x |
2 + x −2 |
|
|
||||
x→a |
|
|
|
г) |
|||
б) |
lim |
|
- 3x 3 + x 2 + x |
; |
|
||
|
x 4 +3x −2 |
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
д) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3x 2 +4x +1 |
; |
|||
|
|
x +3 − |
|
5 +3x |
|||
x→−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x 2 |
|
|
; |
|
1 |
−cos x |
|
|||||
x→0 |
|
|
|||||
|
|
x + 2 |
|
2 x |
|
||
lim |
|
|
. |
|
|||
x +1 |
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
|
2 |
+1, |
x ≤1; |
|
x |
|
|||
y = 2x, 1 |
< x ≤ 6; |
|||
x |
+ 2, |
|
x > 3. |
|
|
|
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 3x5 − |
3 |
− x3 + |
10 |
; |
|
|
x5 |
||||
|
|
x |
|
||
б) |
y = ctg3 2x sin2 x ; |
|
|
||
в) |
y = acr sin 3x ln(1 + x 2 ) |
||||
г) y = (x −3)2 
(x + 4) 32 x ;
(x + 2)7
д) y2 + x2 - siny = 0 ;
е) y = acr sin x .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
lnx |
; |
б) |
lim |
a x -1 |
. |
|
3 x |
|||||||
|
|||||||
x→∞ |
|
|
x→0 |
ex −1 |
|||
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
tg0,1.
17
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = (xx−+21)2 , х =1, х = 3.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++72 ; s( p) = p +1.
18