Вариант № 4
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
|
а =1/ 3, |
а = ∞ |
в) |
lim |
|
|
2 − x − x +6 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
− x −6 |
||||||
|
|
3x 2 + 2x −1 |
|
|
|
|
x → −2 |
|
|
|
|||||||||
lim |
|
; |
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→а |
|
|
27x 3 −1 |
|
г) |
lim |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
7x 3 −2x 2 + 4x |
|
|
x→0 |
2 sin x |
|
|
|
||||||||
б) lim |
|
; |
|
|
|
|
x −1 |
|
−3x |
|
|||||||||
|
2x |
3 |
+5 |
|
д) |
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
|
- x, x ≤ 0; |
|
y = |
- (x −1)2 |
, 0 < x ≤ 2; |
|
|
x ≥ 2. |
|
x −3, |
|
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 7 x − |
2 |
−3x3 |
+ |
4 |
; |
|
|
x |
|||||
|
|
x5 |
|
|
||
б) |
y = cos5 2x tgx ; |
|
|
|
||
в) |
y = lg(1 + x2 ) arctg(1 + x2 ) |
|||||
г) y = (x +3) 5 (x7−2)2 2−x 2
(x +7)
д) y2 − x −cos y = 0 ;
е) y = 
x .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
tgx - x |
; |
б) lim |
lnx |
. |
|
2 sin x + x |
1 − x3 |
|||||
x→0 |
|
x→1 |
|
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
4 16,64 .
11
6. Зависимость между издержками производства у и объемами
производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = 4x − x2 −4 , х =1, х = 4. x
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++62 ; s( p) = p +1.
12
Вариант № 5
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а =1, а = ∞ |
в) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3x 2 + 2x −1 |
; |
|
|
|
||
|
- x 2 + x + 2 |
|
|
г) |
||||
x→а |
|
|
|
|
||||
б) lim |
4x 2 + |
28x |
|
; |
|
|||
5x3 +3x 2 |
+ x −1 |
|
||||||
|
x→∞ |
|
д) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3 + 2x − |
x + 4 |
; |
||||
|
|
|
3x 2 −4x +1 |
||||||
x→1 |
|
|
|
|
|||||
lim |
|
sin 2 3x - sin 2 x |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +5 |
|
5 x |
|
||
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
2x +1 |
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
|
- 2(x +1), x ≤ −1; |
|
y = |
(x +1)2 |
, -1 < x < 0; |
|
|
x > 0. |
|
x, |
|
|
|
|
3. Найти производные.
а) y = 7x + x52 −7 x4 + 6x ;
б) y = sin5 x tg 2x ;
в) y = ln2 x arccos2x ;
г) y = (x + 2)7 (x −3)3 5x −1
(x +1)5
д) tgy - 3x - 5 y +1 = 0 ;
е) y = ln(x −3) .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
x 3 - 2x 2 − x + 2 |
; |
б) lim |
1 - cosax |
. |
|
|
||||||
x3 −7x +6 |
||||||
x→1 |
|
x→0 |
1- cosbx |
|||
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
(3,03)5 .
13
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y = lnxx , х = 4, х = 9.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++101 ; s( p) = p +5.
14