1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
а = −5, а = ∞ |
|||||||
lim |
|
x 2 − x − |
30 |
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
x→а |
|
|
x 3 +125 |
|
||||
б) lim |
|
6x 2 − |
5x + 2 |
|
; |
|||
|
4x 3 −2x 2 +1 |
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
Вариант № 24
в) |
lim |
|
x3 −27 |
|
; |
|
||
|
|
3x − x |
||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
lim |
|
1 −cos 4x |
; |
||||
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
x sin x |
|
|
||
|
|
3x + 4 |
−2 x |
|||||
д) |
lim |
|
|
|
. |
|||
3x |
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
x +1, |
x < 0; |
|
|
y = x 2 −1, 0 ≤ x <1; |
|
− x , |
x ≥1. |
|
|
3. Найти производные.
а) y =8x3 − 4 − |
7 |
+7 |
x2 ; |
г) |
y = |
4 x −8 (x +2)6 |
e2x ; |
||||
4 |
|||||||||||
|
(x −1)5 |
||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = e−sin x tg7x6 ; |
|
д) |
y2 |
− x = cos y ; |
|
|||||
в) |
y =ln(2x −1) arcctg3x2 ; |
е) |
у = |
1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 + х |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
ln cosx |
; |
б) lim (lnx)1/x . |
x |
x→∞ |
||
x→0 |
|
|
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
sin31°.
51
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график. y = x ln2 x , х =е, х =3.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++113 ; s( p) = p +1.
52
Вариант № 25
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, |
а =1/ 2, а = ∞ |
в) |
lim |
|
|
x + 20 −4 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 +60 |
||||||
|
|
8x3 −1 |
; |
|
|
|
|
x→−4 |
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
cos5x −cos x |
|
|||||||||||
|
x 2 |
−1/ 4 |
|
|
|
г) |
|
; |
|||||||||||
x→а |
|
|
|
|
|
lim |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
8x 2 |
+3x +5 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
б) lim |
|
; |
|
|
|
|
2x −1 |
|
−x |
|
|||||||||
4x |
3 |
−2x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
− y = xx
x , |
x < 0; |
2 +1, |
0 ≤ x < 2; |
+1, |
x ≥ 2. |
3. |
Найти производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
y = 5x |
4 |
2 9 |
|
3 |
x |
4 |
; |
|
|
7 (x −2)4 |
|
|
x3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− x + x3 |
+ |
|
|
г) |
y = |
|
e |
; |
|||||||||||
|
|
|
(x + 2)2 (x −6)5 |
|
||||||||||||||||
б) |
y = sin5 x ctg4x ; |
|
|
|
|
|
д) |
3x +siny = 5y ; |
|
|
|
|
||||||||
в) |
y = ln(x −4) arcctg 2 5x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
е) |
y = ln(1 + 2x2 ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
lim |
e x |
− x 2 / 2 − x −1 |
; |
|
б) lim |
x 2 sin |
a |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
cosx − x2 / 2 −1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|||||||
5. |
Вычислить |
приближенное |
значение |
заданного |
выражения с |
|||||||||||||||
использованием дифференциала.
10 1025 .
53
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график. y = 2(xx−+21)2 , х =1, х =5.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++103 ; s( p) = p +1.
54