1. Вычислить пределы. а) при а = 0, а = 2, а = ∞
lim |
|
|
x 3 −2x −4 |
|
; |
|||
|
x 2 −11x +18 |
|||||||
x→а |
|
|
|
|||||
б) lim |
|
5x 2 |
−3x +1 |
; |
||||
|
3x 2 |
|
||||||
x |
→∞ |
|
+ x −5 |
|
|
|||
Вариант № 20
в) |
lim |
|
2 − |
x 2 |
+ 4 |
; |
||||
|
|
|
3x 2 |
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
lim |
|
arcsin 5x |
; |
||||||
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
x 2 |
− x |
|
|
|
||
д) |
|
|
3 + x |
2 x |
||||||
lim |
|
|
|
. |
||||||
9x −4 |
||||||||||
|
x→∞ |
|
||||||||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
- x |
, |
x ≤ 0; |
|
, |
0 < x ≤ 2; |
y = x 3 |
||
x + 4, |
x > 2. |
|
|
|
|
3. |
Найти производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
|
6 3 |
|
3 |
|
x |
7 |
; |
|
|
|
|
5 (x + 2)3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = x4 - x +3x |
|
− |
|
г) |
y = |
|
|
3x3 |
; |
||||||||||||||
|
|
(x +1) |
4 |
(x − |
3) |
5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
y = cos4 3x arcsin3x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
y = log5 (x +1) arctg 2 x3 |
д) |
y = 7x −ctgy ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 − x) |
|
|
|
|
||||||||
4. |
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
lim |
3 1 + 2x +1 |
; |
|
|
|
|
б) lim |
|
a lnх − x |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→−1 |
2 + x + x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
приближенное |
значение |
заданного |
выражения с |
||||||||||||||||
использованием дифференциала.
3 1,02 .
43
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y =e1/(2- x) , х = 3, х = 5.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp ++81 ; s( p) = p + 4.
44
Вариант № 21
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а = 2, а = ∞ |
в) |
lim |
|
3x +17 − |
2x +12 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+8x +15 |
|||||||
|
|
|
|
|
x 3 −8 |
; |
|
|
x→−5 |
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
2 |
−9x +10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
→ |
а 2x |
|
|
г) |
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
lim |
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
3x 4 + x 2 −6 |
; |
|
tgx |
sin x |
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x 2 +3x +1 |
|
|
|
|
2 −3x x |
|
|
|
|||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
5 −3x |
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
sinx, |
x ≤0; |
|
≤ x ≤ 2; |
y = x, 0 |
|
|
x > 2. |
0, |
3. Найти производные.
а) y =2 x3 − |
7 |
+3x2 − |
2 |
; |
|
5 |
5 |
||||
|
|
x |
|
x |
|
б) |
y =tg3x sin 7x4 ; |
|
|
||
в) |
3 |
|
11 |
|
|
y =ln(x −1) arctg 6x; |
|
||||
г) y = (x −5 1(x) +(x4+)33)5 e−x ;
д) y2 = 2x +3y ;
е) y = xe6 x .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
e |
4/x |
2 |
−1 |
; |
б) lim |
1 −cos8x |
. |
|||
|
|
tg |
2 |
2x |
|||||||
2acrtgx 2 −π |
|||||||||||
x→∞ |
|
x→0 |
|
|
|||||||
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
2,9/ (2,9)2 +16 .
45
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
у = 4е−х2 +2 х , х =1, х =5.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество
покупаемого товара) и функция предложения (количество предлагаемого
товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++112 ; s( p) = p + 4.
46