1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а = −2, а = ∞
lim |
|
|
x 2 −4 |
; |
|
|
|
3x |
2 + x −10 |
|
|||
x→а |
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
3x3 −2x 2 −7 |
; |
||
|
3x 4 +3x +5 |
|||||
|
x→∞ |
|
|
|||
Вариант № 18
в) lim 
x −3 −2 ; x→7 
x + 2 −3
г) |
|
|
1 |
|
||
lim |
|
|
− |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
sin2x |
||||
д) |
lim |
1 − 2x |
||||
|
|
|
||||
3 − x |
||||||
|
x→∞ |
|
||||
1 ; tg2x
−x .
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
−1, |
x < 0; |
|
|
y = cos x, 0 ≤ x ≤π; |
|
|
x >π. |
1 − x, |
|
3. Найти производные.
а) y = 4x5 − |
5 |
− x3 + |
2 |
; |
||
|
x3 |
|||||
|
|
|
x |
|
||
б) |
y = tg |
x arcctg3x5 ; |
|
|||
в) |
y = 2−x |
arcsin3 4x ; |
|
|
||
г) y = (x +10)(x −8)3 e−x 4 ;
(x −1)5
д) xy2 − y3 = 4x −5 ;
е) y = ln(5 + x2 ) .
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim |
x sin(3/x) |
; |
б) lim |
xsin |
a |
. |
x→∞ |
|
|
6x |
|||
|
|
|
x→∞ |
|
|
5. Вычислить приближенное значение заданного выражения с использованием дифференциала.
cos 610 .
39
6. Зависимость между издержками производства у и объемами
производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график. y = x2 -1/x2 , х = 2, х = 3.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++154 ; s( p) = p +3.
40
Вариант № 19
1. Вычислить пределы.
а) при а = 0, а = 6, а = ∞ |
в) |
lim |
|
5x +1 −4 |
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ 2x −15 |
|||||||||||
|
|
2x 2 |
−11x −6 |
|
|
|
|
x→3 |
|
|
||||||||||
lim |
|
; |
|
|
|
|
cos |
2 |
x - cos |
2 |
2x |
|
||||||||
|
3x 2 |
−20x +12 |
г) |
|
|
; |
||||||||||||||
x→а |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5x3 −7x 2 + |
3 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) lim |
; |
|
|
|
|
3x −1 |
3 x |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
2 + 2x - x |
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
2x +5 |
|
|
|
|
|
|||
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
2, |
x < -1; |
|
−1 ≤ x ≤1; |
y = 1- x, |
|
|
x >1. |
ln x, |
3. Найти производные.
а) y = 7x + x43 −5 x3 −2x6 ;
б) y = 2tgx arctg5 3x ;
в) y = lg(x +3) arctg 2 5x ;
г) |
y = |
4 (x + 4)3 (x −2)5 |
e4 x |
|
(x −3)2 |
||||
|
|
|
||
д) |
3y = 7 + xy3 ; |
|
||
е) |
y = xe3x . |
|
||
4. Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
а) lim (1 − x)tg(πx / 2) ; |
б) lim |
ln(cos ax) |
x→1 |
ln(cos bx) |
|
|
x→0 |
5. Вычислить приближенное значение использованием дифференциала.
tg 44o .
.
выражения с
41
6. Зависимость между издержками производства у и объемами производства х выражается функцией у = f (x) .
Требуется:
а) найти средние и предельные издержки при заданных объемах продукции х;
б) найти эластичность издержек при выпуске продукции х; в) исследовать функцию издержек и построить ее график.
y =14--xx2 , х = 2, х = 3.
7. Опытным путём установлены функции спроса q( p) (количество покупаемого товара) и функция предложения s( p) (количество предлагаемого товара), где p – цена товара.
Найти:
а) равновесную цену, при которой спрос и предложение равны между собой;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной и на
8% от равновесной.
q( p) = pp++113 ; s( p) = p + 2.
42