1449
.pdf
Определяем Cп.н.срi по полученному уравнению
Cп.н.ср1 6,982 10 6 95,22,012 0,067 у.е./тыс. км,
|
|
Cп.н.ср2 |
6,982 10 6 182,32,012 |
0,247 у.е./тыс. км, |
|||
|
|
Cп.н.ср4 |
6,892 10 6 212,22,012 |
0,575 у.е./тыс. км, |
|||
|
|
|
|
|
0,065 0,271 0,396 0,457 0,297 у.е./тыс. км. |
||
|
Cп.н.ср |
||||||
|
|
|
|
|
i |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поформуле(2.14) находимэкспериментальноезначениеF-критерия: |
||||||
F |
( 4 2 ) 0,067 0,297 2 0,247 0,297 2 0,336 0,297 2 ( 0,575 0,297 )2 14,83. |
||||||
э |
|
0,065 |
0,067 2 0,271 0,247 2 0,396 0,336 2 0,457 0,575 2 |
||||
|
|
||||||
|
Так как |
F |
14,83 F kp 3;2 9,162 , то модель адекватна, т.е. |
||||
|
|
|
|
|
э |
|
|
степенная модель принимается для дальнейших расчетов. Уравнение суммарных удельных затрат будет иметь вид
Суд Спр l Cп.н.ср l ;
Cуд Сl0 6,982 10 6 l2,012 98l,3 6,982 10 6 l2,012 .
Расчет суммарных удельных затрат представлен в табл. 2.10.
Таблица 2.10
Суммарные удельные затраты на приобретение и ремонт рулевого механизма автомобиля
Пробег автомобиля l, |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
|
тыс. км |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Удельные затраты на |
|
|
|
|
|
|
|
приобретение автомо- |
1,966 |
0,983 |
0,655 |
0,492 |
0,393 |
0,328 |
|
биля Спр, у.е./тыс. км |
|
|
|
|
|
|
30
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 2.10 |
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
||
Удельные затраты на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
устранение отказов и |
|
0,018 |
0,074 |
0,167 |
|
0,298 |
0,466 |
0,673 |
|
неисправностей С |
п.н.срi |
, |
|
||||||
у.е./тыс. км |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммарные удельные |
|
1,984 |
1,057 |
0,822 |
|
0,790 |
0,859 |
1,001 |
|
затраты Суд, у.е./тыс. км |
|
||||||||
По данным табл. 2.10 строится кривая 3 зависимости средних удельных затрат на устранение отказов и неисправностей и кривая 4 зависимости суммарных удельных затрат от пробега автомобиля
(рис. 2.3).
Оптимальный ресурс рулевого механизма (для степенной модели) определяется по формуле
Lp a1 |
1 |
C0 |
. |
(2.18) |
||
a0 |
a1 |
|||||
|
|
|
|
|||
Lp 2,012 1 |
98,3 |
|
187,3 тыс. км. |
|
6,982 10 6 |
2,012 |
|||
|
|
3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЭФФЕКТИВНОСТИ НА ОСНОВАНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА
Распределение Вейбулла находит применение при исследовании функционирования автомобилей и их элементов. Оно хорошо описывает постепенные отказы, отказы, вызванные старением.
Плотность распределения Beйбyллa задается двумя параметрами μ и n (двухпараметрический закон ) и имеет вид
n |
n 1 |
n xn |
|
|
|
e |
|
при x 0,n 0, 0. |
(3.1) |
f ( x ) n x |
|
|||
|
|
|
при x 0,n 0, 0, |
|
0 |
|
|
|
где х – случайная величина, как правило, время исправной работы t или пробег автомобиля L;
31
n – параметр формы (при n = 1 – распределение преобразуется в |
|||||
показательный закон; при n = 2 – в закон Релея; при n = 3,25 – в |
|||||
нормальный закон); |
|
|
|
|
|
– параметр масштаба. |
|
|
|
|
|
В некоторых случаях вместо принимают величину, обратную |
|||||
параметру масштаба а = 1/ , тогда плотность вероятности записы- |
|||||
вается так: |
|
|
|
|
|
|
|
n x n 1 |
|
x n |
|
|
f ( x) |
|
(3.2) |
||
|
|
e |
a . |
||
|
|
a a |
|
|
|
График плотности распределения показан на рис. 3.1. |
|
||||
f(x) |
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
n = 3,25 |
|
0,8 |
|
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
x |
|
Рис. 3.1. График плотности распределения |
|
|||
Для вычисления плотности распределения закона Вейбулла (3.2) имеются специальные статистические таблицы.
Функция распределения закона Вейбулла имеет вид
x |
|
x n |
||
n n |
|
|
|
|
|
||||
F( X ) P( x X ) n xn 1e x |
dx 1 e a . |
|||
0 |
|
|
|
|
В теории надежности кривая функции распределения F(x) характеризует вероятность отказа изделия, а формула
32
|
|
L n |
|
|
|
|
|
|
P . |
|
|
|||
|
||||
F( X ) 1 F( X ) e a |
||||
|
|
|
|
испр |
характеризует вероятность исправного состояния автомобиля (агрегата) и называется кривой ресурса.
Для вычисления кривой исправной работы по закону Вейбулла используются статистические таблицы с двумя входами.
Математическое ожидание распределения Вейбулла
M( X ) xe n xn d( nxn ).
0
С помощью гамма-функции Эйлера находим
|
1e t dt , |
|
|||||
Г( ) t |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
сделав замену переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
n xn t, x |
t n |
, x2 |
|
t n |
|
||
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
M( X ) |
|
Г 1 |
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
||
В теории надежности значение математического ожидания называется наработкой на отказ.
С помощью формулы (3.3) получаем выражение для определе-
ния второго параметра закона Вейбулла |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Г |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M ( X ) |
|
|
|
|
|||||
Дисперсия для закона Вейбулла имеет вид |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Г 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
||||
D( X ) |
|
Г 1 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
M( X ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражения математического ожидания и дисперсии в формулу коэффициента вариации для закона Вейбулла, получаем:
( x ) M ( x )
|
|
|
2 |
|
|
Г |
|
|
1 |
|
|
|
Г 1 |
n |
|
2 1 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( n ). |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Г 1 |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Как видим, коэффициент вариации является функцией параметра формы.
В свою очередь параметр формы закона n является функцией коэффициента вариации :
n( ) ( x ) .
M ( x )
Следовательно, если известно среднее квадратичное отклонение и математическое ожидание закона Вейбулла (например, на основании опытных данных), то можно определить значение параметра формы n и на основании этого найти параметр масштаба .
Для удобства определения параметра формы имеются статистические таблицы.
Пример. Исследуется закон распределения пробега тормозной системы автомобилей МАЗ–5335 до отказа. При статистических наблюдениях было зафиксировано N = 79 отказов. Размах (вариация) пробега автомобиля до выхода из строя узлов и деталей тормозной системы составил от L = 5 до L = 115 тыс. км.
Требуется установить закон, которому следует рассматриваемое явление, и проверить правдоподобность принятой гипотезы при уровне значимости = 0,05.
Решение. Применяя формулу Стеджерса, находим ширину интервала:
L |
Lmax Lmin |
|
115 5 |
|
110 |
15 тыс км. . |
|
1 lgn |
1 3,3lg 79 |
7 ,262 |
|||||
|
|
|
|
34
Примем L = 10 тыс. км. После ранжировки вариационный ряд группируем (через L = 10) в 12 интервалов (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Пробег тормозной системы автомобилей МАЗ-5335 до отказа
№Номер интервала
строки |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
|
|
|
|
Границы интервалов |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
50 |
60 |
70 |
|
80 |
90 |
100 |
110 |
|
10 |
20 |
30 |
40 |
|
50 |
60 |
70 |
80 |
|
90 |
100 |
110 |
120 |
2 |
|
|
|
Середина интервалов |
|
|
|
|||||||
|
5 |
15 |
25 |
35 |
|
45 |
55 |
65 |
75 |
|
85 |
95 |
105 |
115 |
3 |
|
|
Опытные числа попаданий в интервал |
|
|
|||||||||
|
9 |
14 |
18 |
7 |
|
9 |
9 |
4 |
4 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
4 |
|
|
Опытные частоты попаданий в интервал |
|
|
|||||||||
|
0,014 |
0,177 |
0,228 |
0,089 |
|
0,114 |
0,114 |
0,050 |
0,050 |
|
0,025 |
0,013 |
0,013 |
0,013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
Вход в статистическую таблицу |
|
|
|||||||||
|
0,125 |
0,375 |
0,625 |
0,875 |
|
1,120 |
1,370 |
1,630 |
1,870 |
|
2,120 |
2,360 |
2,630 |
2,880 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
Табличные значения функции = f (L) |
|
|
|||||||||
|
0,560 |
0,718 |
0,670 |
0,576 |
|
0,470 |
0,340 |
0,230 |
0,160 |
|
0,110 |
0,080 |
0,050 |
0,040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
Теоретические вероятности попадания в интервал |
|
|||||||||||
|
0,140 |
0,179 |
0,167 |
0,144 |
|
0,117 |
0,085 |
0,058 |
0,040 |
|
0,028 |
0,020 |
0,001 |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
Теоретические числа попаданий в интервал |
|
|||||||||||
|
11,0 |
14,0 |
13,0 |
11,3 |
|
9,2 |
6,8 |
4,5 |
3,2 |
|
2,2 |
1,6 |
1,0 |
1,0 |
9 |
|
|
|
Слагаемые критерия Пирсона |
|
|
|
|||||||
|
0,363 |
0,000 |
1,920 |
1,630 |
|
0,040 |
0,740 |
0,055 |
0,200 |
|
0,018 |
0,220 |
0,000 |
0,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
Вероятность исправной работы тормозов (по статист. табл.) |
|||||||||||||
|
0,95 |
0,76 |
0,61 |
0,43 |
|
0,32 |
0,20 |
0,14 |
0,08 |
|
0,06 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
35
Вычисляем статистические поинтервальные частоты попаданий случайных величин в интервалы (строка 4 табл. 3.1), на основе которых можем построить полигон. Рассматривая его, делаем предположение, выдвигаем гипотезу, что изучаемое явление – длина пробега автомобиля до выхода из строя тормозов – распределено по закону Вейбулла.
Вычисляем статистическое математическое ожидание (генеральное среднее) пробега автомобиля до отказа тормозной системы:
|
|
r |
L m |
|
|
5 9 15 14 ... 115 1 |
|
|
||||
M( L ) |
i i |
|
|
|
|
|
36,6 тыс.км. |
|||||
N |
|
|
79 |
|
||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем статистическую дисперсию |
|
|
|
|||||||||
r |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
D( L ) |
Li mi |
( M( L ))2 5 9 |
15 |
14 ... 115 |
1 (36,6)2 |
576 тыс км. .2 |
||||||
|
|
|
||||||||||
i 1 |
N |
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
Находим несмещенное значение дисперсии |
|
|
|
|||||||||
|
~ |
|
|
r |
|
|
|
12 |
|
|
|
2 |
|
D( L ) |
|
D( L ) |
11 |
576 628,36тыс км. . |
|||||||
|
r 1 |
|||||||||||
~( L ) 
628, 36 25,07тыс км. .
Находим коэффициент вариации
~( L ) 25,07 0,684. M ( L ) 36,6
По табл. 3.2 и 3.5 для найденного коэффициента = 0,68 находим значение первого параметра закона – параметра формы, равно-
го n 1,4.
Находим второй параметр закона – параметр масштаба:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
|
0,911 |
|
|
n |
|
1,4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,025 , |
||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
36,6 |
|
36,6 |
||||||||
|
M ( L ) |
|
|
|
|
|
|||||||
36
при этом значение, обратное параметру масштаба, составляет
a |
1 |
|
1 |
40. |
|
|
0,025 |
||||
|
|
|
Вычисляем теоретические вероятности попаданий в интервал. Вычисление указанных вероятностей может производиться дву-
мя способами:
по точной формуле
|
|
|
|
|
L |
n |
|
L |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P( |
i |
L |
i |
) e |
|
|
e |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
по приближенной формуле
P( ai Li bi ) f ( L )cp L,
где f(L)cp – плотность вероятности;
L – ширина интервала ( L = 10).
Воспользуемся приближенной формулой для вычисления вероятностей.
Составляем входы в статистические таблицы. Для рассматриваемого примера они составляют:
L1 |
|
5 |
0,125; |
L2 |
|
15 |
0,375 и т.д. |
|
a |
40 |
a |
40 |
|||||
|
|
|
|
Заносим полученные входы в строку 5 статистической таблицы
(табл. 3.1).
С помощью полученных входов для n = 1,4 находим (путем интерполяции) значения функции a f ( L ).
Указанные значения составляют:
для |
|
L |
0,125 |
a f ( L ) 0,56; |
|
||
|
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
для |
L |
|
0,375 |
a f ( L ) 0,718 |
и т.д. |
||
a |
|||||||
|
|
|
|
||||
37
Заполняем строку 6 статистической таблицы. Находим плотности вероятностей:
f ( L1 ) a f ( L1 ) 0,56 0,014; a 40
f ( L2 ) 0,40718 0,01795 и т.д.
Находим теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы:
p1 f ( L1 ) L 0,014 10 0,14;
p2 0,01795 10 0,1795 и т.д.
Таким образом, заполняется строка 7 статистической таблицы. На основании строки 7 на график наносится сглаживающая тео-
ретическая кривая закона Вейбулла. Вычисляем теоретические числа:
m1 p1 n1 0,14 79 11,06;
m2 p2 n2 0,179 79 14,03 и т.д.
Заполняем строку 8 статистической таблицы. Вычисляем слагаемые критерия Пирсона:
m1* m1 2 |
|
|
9 11 2 |
0,363; |
|||
|
11 |
||||||
m |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m*2 m2 |
2 |
|
|
14 14 2 |
0 и т.д. |
||
m |
|
|
|||||
|
|
|
14 |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Заполняем строку 9 статистической таблицы. Суммируем слагаемые критерия Пирсона, получаем
|
2 |
n |
m*i |
mi |
|
|
|
|
|
|
|
0,363 ... 0,22 5,2. |
|
|
|
m |
|
|||
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
38
Проверяем правдоподобность принятой гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла.
Pоп( 2 , k ) Pоп( 5,2; 9 ) 0,8 0,05.
Следовательно, по критерию Пирсона при уровне значимости
= 0,05 гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла не отвергается.
kP |
2 |
r |
|
5,2 12 |
1,39 |
3. |
|
2 |
r |
2 12 |
|||||
|
|
|
|
Как видим, и по критерию Романовского гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла не отвергается.
Таблица 3.2
Зависимость между значениями коэффициентов вариации и параметром формы для закона Вейбулла
Коэффициент |
|
Нормированное |
|||
|
математическое |
||||
вариации |
Параметр |
||||
|
( L ) |
формы n |
ожидание |
||
kB M ( L ) |
|||||
M ( L ) |
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
3 |
||
15,83 |
|
0,2 |
120 |
||
5,29 |
|
0,3 |
8,86 |
||
3,14 |
|
0,4 |
3,32 |
||
2,24 |
|
0,5 |
2,00 |
||
1,74 |
|
0,6 |
1,50 |
||
1,46 |
|
0,7 |
1,27 |
||
1,26 |
|
0,8 |
1,13 |
||
1,11 |
|
0,9 |
1,05 |
||
1,00 |
|
1,0 |
1,00 |
||
0,910 |
|
1,1 |
0,965 |
||
Нормированное
среднее
квадратическое
отклонение
CB (aL )
4
1900
49,6
10,4
4,47
2,61
1,86
1,43
1,17
1,00
0,878
39