M& 2 = c y (ω1 −ω2 ),
J1 ddtω1 = M − M 2 ,
С учетом последних выражений система дифференциальных уравнений электропривода принимает следующий вид:
J 2 ω2 |
= M 2 − M C , |
|
|
M& 2 |
= c y (ω1 −ω2 ), |
(6.1) |
|
|
J1ω1 = ci − M 2 , |
|
|
L |
di |
= −cω −iR +Ud |
|
|
|
||
0 dt |
1 |
|
|
Здесь переменными состояния, определяющими динамику провода, являются скорости ω1 , ω2 , упругий момент M 2 и ток i цепи якоря. Величины Мс
иUd являются внешними воздействиями.
6.3.Порядок выполнения работы
1.Включить ЭВМ и войти в среду программы Matlab.
2.Открыть М-файл, в который записать подпрограмму-функцию для вычисления правых частей дифференциальных уравнений (6.1).
3.В командной строке записать команду ode. Нажать клавишу ′Enter′. Получить результат в виде графика.
4.Выполнить интегрирование (6.1) для нулевых начальных условий по заданному варианту (таблица 6.1)
5.Выполнить численное интегрирование системы дифференциальных уравнений для 3 - 4 значений параметра, заданного преподавателем.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
Варианты исходных данных |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
|
|
|
T, c |
0,02 |
0,01 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
J1, kgm2 |
0,02 |
0,02 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,05 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
J2 , kgm2 |
0,05 |
0,4 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,02 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
1e+03 |
|
|
|
|
cy |
1e+03 |
1e+04 |
1e+03 |
1e+03 |
4e+03 |
2e+03 |
5e+04 |
5e+04 |
|
c |
1,4 |
1,5 |
1,2 |
1,3 |
0,9 |
1,3 |
1,3 |
1,3 |
1,3 |
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
R, Oм |
0,2 |
0,02 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
Ud, V |
220 |
110 |
220 |
50 |
50 |
50 |
50 |
20 |
|
34
6.4. Содержание отчета
1.Цель работы.
2.Система дифференциальных уравнений.
3.Текст М-файла вектор-функции правых частей уравнений и команда обращения к программе численного интегрирования.
4.Результаты численного интегрирования дифференциальных уравнений двухмассовой модели при различных значениях параметров в виде графиков в функции времени.
5.Выводы.
6.5.Контрольные вопросы
1.Как определить собственные частоты двухмассовой системы?
2.Составить дифференциальные уравнения двухмассовой электромеханической системы.
3.Записать характеристический полином двухмассовой электромеханической системы.
4.Как решить систему дифференциальных уравнений с помощью операции
ode?
35
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗОПОДЪЕМНОГО МЕХАНИЗМА
7.1. Цель работы
Целью работы является анализ методом моделирования динамики электропривода горизонтального перемещения грузоподъемного механизма. При горизонтальном перемещении возможно раскачивание транспортируемого груза. Анализ динамики методом моделирования позволяет определить условия, при которых угол отклонения груза уменьшается.
7.2. Формирование математической модели.
Математическая модель электропривода горизонтального перемещения, учитывающая возможные отклонения от вертикали троса, несущего груз, содержит модель электродвигателя горизонтального движения и модель механической части. Для формирования модели механической части необходимо составить уравнения Лагранжа 2 рода. Схема движения механизма представлена на рис.7.1.
q1
m1
q2 q3
m2
Рисунок 7.1 - Схема механизма
Механизм имеет три степени подвижности, которым соответствуют обобщенные координаты q1 горизонтального движения, q2 отклонения троса от
36
вертикали, q3 подъема-опускания. |
Соответственно, |
q1, |
q2 , |
q3 – обобщенные |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
& |
скорости указанных движений. Уравнения Лагранжа 2 рода имеют вид: |
|||||||||||||||
|
d |
|
|
∂L |
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= Q1 |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
& |
|
|
∂q1 |
|
|
|
|||||
|
dt |
∂q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
∂L |
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
(7.1) |
|
|
|
|
|
|
− |
|
= 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∂q2 |
|
|
|
∂q2 |
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
∂L |
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= Q3. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
∂q3 |
|
|
|
||||
|
dt |
∂q3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь L =WK −WΠ . Кинетическая энергия WK определяется выражением
|
|
|
|
|
|
m q2 |
m |
v2 |
|
|||
|
|
|
|
|
WK = |
|
1 1 |
+ |
2 |
|
. |
(7.2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь v – абсолютная скорость груза. Потенциальная энергия WΠ |
|
|||||||||||
определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
WK = m2 g(−q3 cos q2 ). |
(7.3) |
||||||
Здесь g – ускорение свободного падения. Следует выразить L =WK −WΠ |
через |
|||||||||||
обобщенные координаты и скорости, используя следующие соотношения |
|
|||||||||||
v |
|
= x |
+ z |
, |
x = q3 sin q2 , |
z = −q3 cos q2 |
(7.4) |
|||||
|
2 |
&2 |
&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = q3 sin q2 + q3 q2 cos q2 + q1 , |
z = −q3 |
cos q2 + q3 q2 sin q2 |
|
|||||||||
& |
|
& |
|
& |
& |
|
& |
|
& |
& |
|
|
В результате получается выражение для функции Лагранжа
L = |
&2 |
+ 2 |
(q3 |
+ q1 |
+ q3 q2 |
+2q1 (q3 sin q2 |
+ q2 q3 cos q2 ))− gm2 (−q3 cos q2 ). (7.5) |
|
2 |
||||||||
|
m1q1 |
|
m2 |
&2 |
&2 |
2 &2 |
& & |
& |
|
|
|
|
|||||
Подставляя производные функции Лагранжа в (7.1) и обозначая
s = sin q2 , c = cos q2 ,
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
37
&& |
+m2 |
&& |
&& |
& & |
&2 |
, |
|
|
(m1 +m2 )q1 |
(q3 s +q2 q3c +2q2 q3c −q2 q3 s)=Q1 |
(7.6) |
||||||
m2 |
(q2 q3 |
+2q2 q3 q3 |
+ q1q3c)+m2 gq3 s = 0 , |
|||||
|
|
&& |
2 |
& & |
&& |
|
|
|
m2 (q&&3 + q&&1 s)+m2 (q3 q&22 + gc)= Q3 .
Внешние обобщенные силы Q1,Q3 создаются электроприводами соответствующих степеней подвижности, и возможно, учитывают трение.
К этой системе добавляются дифференциальные уравнения электроприводов. Уравнения электропривода горизонтального перемещения могут быть представлены в виде:
|
J1 |
ω = c1i −ρF1 / i p , |
|
|
|
|
& |
|
|
L0 |
di |
= −c1ω − iR +Ud . |
(7.7) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
Здесь J1 = J∂ + JPO – суммарный момент инерции, |
JPO = m1 ρ2 ip2 – |
|||
приведенный к валу электродвигателя момент инерции рабочего органа, ρ – радиус приведения, i p – передаточное отношение редуктора, F1 - усилие,
создающее нагрузку на электропривод горизонтального движения и определяемое правой частью первого уравнения (7.6). Угловая скорость ω
электродвигателя связана со скоростью |
q1 |
горизонтального движения |
|
& |
|
пропорциональной зависимостью |
|
|
ω = q1 i p |
ρ. |
(7.8) |
& |
|
|
Кинетическая энергия горизонтального движения может быть выражена как через величины, приведенные к валу электродвигателя, так и через параметры поступательного движения:
|
|
&2 |
|
J ∂ω |
2 |
|
|
J1ω |
2 |
&2 |
|
|
||
|
|
|
m1q1 |
+ |
|
= |
|
|
= |
m1q1 |
. |
(7.9) |
||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
Здесь |
m1 = m1 + J ∂ (i p |
ρ)2 – приведенная |
|
масса привода |
горизонтального |
|||||||||
движения. |
Введем |
обозначение |
|
b = i p |
ρ. |
|
Пренебрегая |
длительностью |
||||||
электромагнитных процессов, положим L0 |
= 0 . Тогда уравнения (7.7) сводятся к |
|||||||||||||
одному уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1ω& = c1 (U d −c1ω)
R − F1 / b .
Если переменные привести к поступательному движению, учитывая (7.8), (7.9) последнее уравнение примет вид
m1q1 |
= c1 |
(U d −c1bq1 )b R − F1 . |
(7.10) |
&& |
|
& |
|
С учетом последнего выражения и аналогичного выражение для электропривода подъема, систему (7.6) следует представить в виде
&& |
&& |
|
&& |
& |
& |
&2 |
& |
|
|
(m1 + m2 )q1 |
+ m2 (q3 s + q2 q3 c + 2q |
2 q3 c − q2 q3 s)= c1 |
(U d −c1bq1 )b R , |
|
|||||
|
&& |
|
& |
& |
&& |
|
|
|
(7.11) |
|
(q2 q3 |
+2q |
2 q3 |
+ q1c)+ sg = 0 , |
|
||||
&& |
&& |
& |
2 |
− gc = c3 (U 3 −c3b3 )b3 (m2 R3 ) |
|
||||
q3 |
+ q1 s −q3 q2 |
|
|||||||
Система преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
&& |
(− sQ3 +Q1 ) m1 , |
|
|
|||
|
|
|
q1 = |
|
(7.12) |
||||
q2 = c(sQ3 −Q1 ) |
(q3m1 )− gs q3 |
+csq2 m1 m2 , |
|||||||
&& |
|
|
|
|
|
|
&2 |
|
|
&& |
|
|
2 |
m2 |
|
&2 |
+ gc − s Q1 |
m1 |
|
q3 = Q3 (1+ s |
|
m1 )−q3 q2 |
|
||||||
Учитывая выражения Q3 = c3 (U 3 −c3b3 )b3 / R3 , Q1 = c1 (U d −c1bq&1 )b
R система может быть представлена в виде
q&&1 = −sc3 (U 3 −c3b3 )b3 /(R3m1 )+ c1 (U d −c1bq&1 )b
(Rm1 ),
q2 = c(sQ3 −Q1 ) |
(q3m1 )− gs q3 |
+csq2 m1 m2 , |
(7.12) |
&& |
|
&2 |
|
q&&3 = q&&1 s −q3 q&22 − gc +c3 (U 3 −c3b3 )b3 
(m2 R3 )
Напряжение на двигателе формируется в функции времени как линейно возрастающее при разгоне за время t1 и линейно убывающее при торможении за это же время,
U d =U max t
t1 , t < t1 , U d =U max , t1 ≤ t ≤ t2 , U d =U max (t2 +t1 −t)
t1 , t2 ≤ t ≤ t2 +t1
Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши. Преобразование уравнений (7.11) к
39