MG_ekzamen

26.Геометрическая сторона задачи. Уравнения Коши.

Эти уравнения называются геометрическими уравнениями, или уравнениями Коши, а их содержание состоит в том, что они обеспечивают сохранение сплошности грунта после деформирования, или совместность деформаций.

27.Цели и гипотезы теории линейно-деформируемой среды (ТЛДС).

Итак, теория линейно-деформируемой среды (ТЛДС) описывает работу грунта в первой фазе деформирования по Н.М. Герсеванову – фазе уплотнения.

Цель решений ТЛДС, следовательно, это – определение напряжений и деформаций в каждой точке основания, работающего в фазе уплотнения, от внешней нагрузки и от собственного веса.

Сформулируем основные гипотезы, принятые при построении решений в ТЛДС.

1.Основание находится в равновесии.

2.Гипотеза линейной деформируемости. В заданном диапазоне напряжений поведение грунта подчиняется обобщенному закону Гука.

3.Гипотеза совместности деформаций. Грунт деформируется без возникновения трещин, пустот и

т.д.

Постановка плоской задачи ТЛДС:

Цель решений ТЛДС это – определение напряжений и деформаций в каждой точке основания,работающего в фазе уплотнения, от внешней нагрузки и от собственного веса.

Базовой моделью грунта в ТЛДС является линейно-деформируемая модель.

Основные гипотезы, принятые при построении решений в ТЛДС:

1. Основание находится в равновесии. 2. Гипотеза линейной деформируемости (В заданном диапазоне напряжений поведение грунта подчиняется обобщенному закону Гука). 3. Гипотеза совместности деформаций (Грунт деформируется без возникновения трещин, пустот и т.д.). 4. Гипотеза малости деформаций (Перемещения точек грунта малы по сравнению с размерами сооружений).

Гипотеза 1 записывается в виде статических уравнений – уравнений равновесия (2.1). Гипотеза 2 выражается обобщенным законом Гука – физические уравнения (2.4). Гипотеза 3 с учетом гипотезы 4 приводит к геометрическим уравнениям – уравнениям Коши (2.2).

Уравнения (2.5)…(2.7) представляют собой исходную систему уравнений плоской статической задачи ТЛДС.

(рис. 3.1, а). Удельный вес грунта равен .

Возьмем прямоугольную систему координат, оси Oх и Oу которой расположены на поверхности основания, а ось Oz направим вертикально вниз. На поверхности основания ничего не изменяется, следовательно напряжения в основании не зависят от координат х и у. В таком случае в дифф-ых ур-ях равновесия (2.8) все частные производные по x и по y равны нулю. Далее, так как касательные силы отсутствуют на горизонтальной поверхности основания при вертикально действующем собственном весе, то xy = yz = zx = 0.

Поскольку все касательные напряжения равны нулю, то напряжения x, y, z являются главными, причем

z = 1 и x = y = 2 = 3.

Для установления боковых напряжений x и y примем гипотезу о том, что деформации основания в процессе его геологического формирования происходили равномерно в направлении оси Oz, и в последующем оно не подвергалось тектоническим процессам. Соответственно, деформирование основания шло под действием только собственного веса грунта в условиях невозможности боковых деформаций x = y = 0. Иначе говоря, мы имеем дело с условиями компрессионного сжатия в направлении оси Oz. В таком случае боковые напряжения определяются зависимостями (3.3):

Эпюры x и y качественно повторяют эпюру z , но имеют меньшие в раз ординаты (см., например,

рис. 3.1, а).

Основание с горизонтальным напластованием грунтов.

Перейдем к случаю, когда в основании выделено несколько инженерно-геологических элементов (ИГЭ), залегающих горизонтально (рис. 3.2, а). Опустим выводы формул, они полностью аналогичны только что рассмотренным.

Однородное обводненное основание

Допустим. что требуется определить бытовые напряжения в однородном основании, которое полностью обводнено и сложено водопроницаемым грунтом (рис. 3.2, б). В этом случае вода свободно перемещается по порам грунта и оказывает взвешивающее воздействие на частицы грунта.

Степень взвешивания частиц грунта при его обводнении для разных видов грунтов будет различна. Чем меньше общая площадь контактов между частицами, тем полнее проявляется взвешивание для каждой из них.

Поскольку по площадям контактов между частицами гидростатическое давление воды не может передаваться, то в этом случае имеет место, как говорят, неполное взвешивание частиц. Принято считать, что полному взвешиванию подвергаются пески и супеси, несколько хуже суглинки, а для плотных глин взвешивания вообще может не быть. В практических расчетах взвешивание частиц грунта водой обычно не учитывают, если коэффициент фильтрации k < 10–5 м/сут и IL < 0,25. Совсем грубая оценка взвешивания частиц производится в зависимости от вида грунта – пески и супеси принимаются как водопроницаемые грунты, а тяжелые суглинки и глины рассматриваются как водоупор.

Двухслойное обводненное основание

Рассмотрим определение бытовых напряжений в обводненном основании дна водоема. Допустим, что с поверхности дна залегает песчаный грунт (ИГЭ №1) с удельным весом 1, а подстилает его слой плотной глины (ИГЭ №2) с удельным весом 2 (рис. 3.3, а). ИГЭ №1 является водопроницаемым грунтом, а ИГЭ №2 можно считать водоупорным. Благодаря тому, что вода свободно перемещается в песках, каждая частица песка (ИГЭ №1) подвергаются давлению воды со всех сторон по закону Паскаля, что и создает эффект взвешивания. Соответственно, в уровне подошвы песчаного слоя вертикальные бытовые напряжения составят (рис. 3.3, а):

. где sb,1 − удельный вес песчаного грунта с учетом взвешивания водой, h1 − мощность его слоя

В глине вода такого воздействия на частицы уже не оказывает, т.е. взвешивающая сила исчезает. Глина будет воспринимать и давление от веса песка (с учетом его взвешивания водой), и давление от веса столба воды высотой Hw. В результате на границе слоев песка и глины на эпюре вертикальных напряжений возникает скачок, равный давлению от столба воды wHw. Эпюра бытовых вертикальных напряжений примет такой вид, как показано на схеме (см. рис. 3.3, а), а компоненты бытовых напряжений в точке M на глубине z = h1 + h2 определятся зависимостями:

где 2 – коэффициент бокового давления в грунте ИГЭ №2.

Если водоупор залегает с поверхности, а проницаемый слой является подстилающим, то скачок на эпюре бытовых напряжений, равный давлению от столба воды высотой Hw, будет находиться в уровне z = 0. В этом случае взвешивания не будет ни для одного из слоев, а эпюра бытовых вертикальных напряжений будет такой, как показано на рис. 3.3, б (здесь ИГЭ №1 – водоупор, ИГЭ №2 – водопроницаемый грунт).

31.Задача Фламана. Напряжения, эпюры, осадка поверхности.

Задача Фламана позволяет решать разнообразные задачи о напряженно-деформированном состоянии основания в условиях плоской деформации.

Расчетная схема и искомое решение. (без учёта соб. веса)

Пусть вдоль оси Oy нормально к поверхности основания действует погонная нагрузка P (рис. 3.4). Остальная часть поверхности остается свободной. Требуется определить напряженнодеформированное состояние основания от такой нагрузки. Решение системы уравнений (2.5)…(2.7) для данных граничных условий имеет вид:

где R – длина радиус-вектора точки M. Выражения для деформаций и перемещений нетрудно получить, используя непосредственно формулы (2.6) и (2.7).

Для условий плоской деформации, кроме напряжений (3.5), нормально к плоскости хОz действуют главные напряжения y = 2. Их величину можно определить из закона Гука для условий

плоской деформации (2.4):

При x → 0 имеем s → . Т.к. в точке приложения нагрузки (0, 0), вертикальные напряжения z стремятся к бесконечности, вызывая согласно закону Гука столь же большие деформации. Однако решение (3.6) имеет еще две важные особенности, препятствующие ее непосредственному практическому применению.

Во-первых, формула (3.6) содержит произвольную постоянную, которая не может быть определена из имеющихся граничных условий. И это уже является существенным недостатком. Во-вторых, при любом значении произвольной постоянной C линия, определяющая деформированный вид поверхности, пересекает ось Ox и бесконечно «уходит» вверх, т.е. s(x) → − при x → (см. рис. 3.6). Такое положение дел прямо противоречит существующим представлениям о деформациях оснований.

Таким образом, решение Фламана, имеющее очень большое значение в ТЛДС, не позволяет скольконибудь адекватно оценить осадку при данных граничных условиях..

32. Задача Фламана. Доказать, что выражения для напряжений удовлетворяют исходным уравнениям ТЛДС и граничным условиям.

Проверка правильности решения. Формулы (3.5) действительно являются искомым решением, если они удовлетворяют уравнениям исходной системы (2.5)…(2.7) и граничным условиям. В качестве иллюстрации того, как выполняются подобные проверки, покажем, что, например, формулы для напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия. Напомним, что в уравнениях равновесия (2.5) следует положить = 0, поскольку рассматриваются только дополнительные напряжения. Итак, подстановка (3.5) в первое из уравнений (2.5) даст:

33. Задача о произвольной полосовой нагрузке на горизонтальном основании (плоская задача).

Ставится задача − определить напряженно-деформированное состояние основания от такой нагрузки.