Кружок олимпиадная физика / Вариант 19-20 (с правками)
.pdf
Олимпиада «Я — профессионал» по физике, заключительный этап
02 февраля 2020г
Решения
Вариант для студентов бакалавриата
Часть 1. Проверка фундаментальных знаний
1Б (20 баллов). Цивилизация зеленых камнеедов решила послать исследовательский зонд в звездную систему, отстоящую от них на расстояние L = 2000 св. лет. Однако их реактивные технологии позволяют разогнать зонд только до V0 = 1000 км/с. Поскольку камнееды живут в ядре Галактики, где высока концентрация звезд, они решили доразогнать зонд до полноценных субсветовых скоростей с помощью многократных гравитационных маневров на окрестных нейтронных звездах. В районе системы камнеедов дисперсия скоростей звезд равна v = 60 км/с, а среднее расстояние между нейтронными звездами a = 1,5 св. года. Оцените минимальное суммарное время полета, считая, что все маневры зонд совершает в сравнительно небольшой начальной окрестности, а после достижения оптимальной скорости делает последний маневр, разворачивающий его в направлении цели, к которой он далее летит напрямую.
Решение (Аникин Ю.А.):
За один гравитационный маневр модуль скорости зонда в среднем будет меняться на величину сравнимую со средней скоростью звезды:
|
|
|
|
V Vn 1 Vn |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Суммарное время разгона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
1 |
V |
a Vк |
dV a |
V |
|
||||||||
t V |
|
V |
|
|
V |
ln V |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
V0 |
|
|
|
0 |
|
|
где Vк – конечная скорость после этапа разгона. Переход от суммы к интегралу оправдан из-за относительной
малости изменения скорости за раз. Суммарное время полета |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
a |
|
V |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
ln |
к |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
|
|
||||
Минимизируя его найдем оптимальную конечную скорость |
|
|
||||||||||||||||||||
|
dT |
|
L |
|
a |
|
|
1 |
0 |
|
|
V |
|
L |
80 тыс. км/c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dVк |
Vк2 |
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
к |
a |
|
||||||||
В итоге суммарное время полета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
1 |
40 тыс. лет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
V0a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Камнееды терпеливы.
Критерии оценивания:
1.Есть V ~ — 2 балла
2. Есть t |
a |
|
a |
|
1 |
V — 2 балла |
|
|
|
||||
Vn |
Vn |
|||||
3.а. Найдено, что имеется логарифмическая зависимость времени разгона и конечной скорости — 4 балла
|
|
a |
V |
|
|
3. б. Получены точные коэффициенты в этой зависимости (точная формула) |
t |
|
ln |
к |
— 4 баллов |
|
|
||||
|
|
V0 |
|
||
|
L |
|
a |
V |
|
|
4. Есть корректная процедура минимизации T |
|
|
|
ln |
к |
или эквивалентного выражения — 4 балла |
|
|
|
||||
|
Vк |
|
V0 |
|
||
2
|
a |
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Есть T |
|
ln |
V0a |
1 — 2 балла |
|||
|
|
|
|||||
6.Есть численный ответ T 40 тыс. лет (т.к. задача оценочная, то принимается ответ точный по порядку, но
отличающийся не более чем в два раза в ту или иную сторону - от 20 тыс. до 80 тыс.)— 2 балла Итого: 20 баллов
2Б (20 баллов). Тонкое кольцо радиуса R однородно заряжено зарядом Q > 0. Бусинка c отрицательным зарядом q и массой m может свободно скользить по тонкой спице, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр.
—Найдите период T малых колебаний бусинки относительно положения равновесия.
—Во сколько раз изменится период малых колебаний бусинки относительно положения равновесия, если знак её заряда изменить на противоположный, а спицу расположить по диаметру кольца?
Решение (Плис В.И.): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поле кольца на оси вблизи центра (начало отсчета в центре кольца) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(x) k |
|
Q |
x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение движения бусинки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
q |
|
|
q |
|
k R3 x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Частота гармонических колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
k |
Q |
, |
|
q |
. |
|
|
Период |
|
|
|
|
T |
2 R |
R |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k Q |
||||||||||
Для определения зависимости Er (r) |
вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса в локальной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE |
1 |
|
|
E |
|
r |
|
|
E |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда E (r) k |
|
Q |
r . Период увеличится в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Этот же результат может быть получен из теоремы Гаусса в интегральной форме (см. решение задачи 2М)
Критерии оценивания:
1.Есть Ex (x) k RQ3 x — 3 балла
2. Есть T 2 R |
|
R |
|
— 3 балла |
|
|
|||
k Q |
3.Есть теорема Гаусса — 3 балла
4.Получено Er (r) k 2QR3 r — 8 баллов
5.Есть «период увеличится в 
2 раз» — 3 балла Итого: 20 баллов
3Б (20 баллов). Неподвижный атом водорода излучил УФ квант, соответствующий головной (наиболее длинноволновой) линии серии Лаймана.
—Определите относительное изменение 
0 частоты фотона, обусловленное эффектом отдачи.
—Найдите скорость V, с которой движется атом после излучения фотона.
Отношение масс электрона и протона равно m/M = 1/1836, постоянная тонкой структуры e2
c 1
137 .
3
Решение (Плис В.И.): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если атом неподвижен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
2 2 |
|
||
h 0 |
|
|
mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mc |
. |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Далее обращаемся к законам сохранения импульса h MV и энергии h |
|
h |
1 |
MV 2 . |
||||||||||
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда, считая 0 1, находим относительное изменение частоты фотона |
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
V |
|
h |
|
3 |
|
m |
2 5, 4 10 9 |
|||||
|
|
|
2Mc2 |
|
|
|||||||||
0 |
|
2c |
16 |
|
M |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и скорость атома
Vh 3 m 2c 3, 26 м/с.
Mc 8 M
Критерии оценивания:
1.Есть формула Ридберга — 2 балла
2.Есть утверждение о переходе электрона со второго на первый уровень — 2 балла
3.Есть h 0 83 mc2 2 — 1 балл
4.Есть закон сохранения импульса — 2 балла
5.Есть закон сохранения энергии — 2 балла
6.Есть обоснование нерелятивистского приближения или корректная работа с релятивистскими уравнениями — 2 балла
7. |
Есть |
0 |
|
|
|
V |
|
— 2 балла |
||||||
|
|
0 |
|
|
2c |
|
||||||||
8. |
Есть |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
m |
2 — 2 балла |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
|
M |
||||||
9. |
Есть |
|
0 |
5, 4 10 9 — 2 балла |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Есть V 83 Mm 2c — 1 балл
11. Есть V 3 м/с. — 2 балла Итого: 20 баллов
Часть 2. Проверка практических знаний
4Б (20 баллов). Экспериментально было установлено, что в течение примерно часа показания весов с грузом, привязанным к накачанному гелием воздушному шарику, с
течением |
времени |
увеличиваются |
по |
линейному |
закону |
(см. |
рис.): |
m (г) = 6,31 + 0,00674t (мин). Это может быть связано с уменьшением подъёмной силы шарика из-за диффузии гелия через резиновую оболочку. Оцените коэффициент диффузии гелия через резину. Площадь поверхности накачанного шарика в начале опыта S = 1600 см2, толщина оболочки δ = 15 мкм. Считайте, что давление газа в шарике равно атмосферному P0 = 105 Па, а температура окружающего воздуха и гелия в шарике T = 23 oC. Считайте также, что
оболочка шарика проницаема только для гелия и непроницаема для других газов.
4
Решение (Гуденко А.В.): |
|
|
|
Плотность потока гелия j (число молекул, |
проникающих через единичную площадку резины в единицу времени) |
||
определяется законом Фика: j = D n/δ, где D - |
коэффициент диффузии гелия через резину, n = n – |
n0 - |
разность |
концентраций n гелия внутри и вне шарика n0. |
|
|
|
Считая концентрацию гелия вне шарика n0 = 0, находим, что за небольшое время t через всю поверхность шарика |
|||
в атмосферу выйдет N = jSt = DSnt/δ = DSNt/δV атомов гелия (N – число атомов гелия в объёме шарика V). |
|
|
|
Так как V ~ N (P = const, T = const), то из-за утечки гелия объём шарика уменьшается на величину: |
V = ( |
N/N)V = |
|
DSt/δ. Это приводит к уменьшению подъёмной силы шарика на величину: Fп = (ρ0 – ρНе)ΔVg = DS(ρ0 – ρНе)gt/δ, где ρ0 – плотность воздуха, ρНе – плотность гелия. Эта формула определяет закон изменения (уменьшения) подъёмной силы шарика с течением времени: Fп(t) = F0 – DS(ρ0 – ρНе)gt/δ, где F0 = Fп(0) – подъёмная сила в начальный момент времени.
Сила, действующая на платформу весов, равна: F = mгg – Fп, где mг – суммарная масса груза и оболочки с ниткой. Поскольку с течением времени подъёмная сила уменьшается линейно, то показания весов, начиная с некоторого начального значения m0, увеличиваются по линейному закону:
m(t) = F/g = mг – F0/g + DS(ρ0 – ρНе)t/δ = m0 + DS(ρ0 – ρНе)t/δ = m0 + βt.
Таким образом, коэффициент диффузии D можно определить по значению углового коэффициенту β графика экспериментальной зависимости m(t) по формуле: D = βδ/S(ρ0 – ρНе). Плотность воздуха: ρ0 = P0μвоз/RT ≈ 1,18 мг/см3; плотность гелия: ρг = P0μг/RT ≈ 0,163 мг/см3.
Из экспериментальной зависимости угловой коэффициент: β = 6,74.10-3 г/мин ≈ 1,12.10-4 г/с. Коэффициент диффузии гелия через резину:
D = βδ/S(ρ0 – ρНе) = 1,12*10-4.1,5.10-3/[1,6.103(1,18 – 0,163) .10-3] ≈ 1.10-7 см2/с.
Критерии оценивания:
1.Есть закон Фика — 2 балла
2. Есть V = ( N/N)V = DSt/δ — 3 балла
3.Есть Fп = (ρ0 – ρНе)ΔVg — 2 балла
4.Есть Fп(t) = F0 – DS(ρ0 – ρНе)gt/δ — 2 балла
5.Есть m(t) = m0 + DS(ρ0 – ρНе)t/δ — 3 балла
6.Есть D = βδ/S(ρ0 – ρНе) — 3 балла
7.Есть D ≈ 1.10-7 см2/с ) — 3 балла
8.Есть обоснование пренебрежения изменением величин S и δ — 2 балла Итого: 20 баллов
5Б (20 баллов). Цифровой фотоаппарат различает N = 255 оттенков серого. С помощью такого фотоаппарата пытаются получить снимок области неба, содержащий полную Луну на фоне звездного неба. Оцените диаметр объектива D фотоаппарата, при котором это возможно. Для оценки считать, что средние (по видимой величине) звезды светят примерно также, как светило бы Солнце, находящееся на расстоянии L = 5 пк. Считать, что поверхность Луны равномерно рассеивает во все стороны = 15% попадающего на нее солнечного света. Угловой размер (диаметр) Луны равен угловому размеру Солнца и приближенно равен = 0,01 рад. Каким должен быть при этом линейный размер снимка в пикселях Nn, если изображение Луны занимает q = 0,1 линейного размера снимка? Cчитать, что чувствительность пикселей одинакова и автоматически подстраивается под самую яркую точку изображения. Шумы фотодетектирования отсутствуют.
Примечание: 1 парсек (пк) – расстояние, с которого радиус орбиты Земли виден под углом в одну угловую секунду.
Решение (Дьячков Н.В.):
|
|
|
|
R 2 |
|
2 |
3,8 10 6 B0 , где L |
|||||||||
|
|
Пусть яркость Солнца равна B |
Яркость Луны BЛ B0 |
C |
|
B0 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
LC |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
R |
– расстояние до Солнца и радиус Солнца. Угловой размер предполагаемой звезды |
|
|
LC |
|
|
|
|
10 8 |
рад . |
|||||
З |
|
|
|
6 |
||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При удалении Солнца от фотоаппарата яркость его изображения не меняется пока его угловой размер не станет меньше
дифракционного пятна |
|
|
1, 22 |
|
, после чего падает пропорционально квадрату расстояния. Из условия, что яркость |
|||||||
0 |
D |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
изображения |
звезды |
|
не |
должна |
быть |
меньше, |
чем |
BЛ N , |
имеем: |
|||
5
|
|
|
|
|
|
З |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BЛ NB0 |
0 |
|
|
|
|
255 |
|
108 8 105 |
Диаметр объектива D 1, 22 |
8мм . Число пикселей |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
3,8 10 |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
N |
|
|
Л |
|
1300 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п |
q 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Критерии оценивания: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
2 |
3,8 10 6 B0 — 2 балла |
|
|
||||||
|
|
1. |
|
Есть |
BЛ B0 |
|
C |
|
B0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
2. |
|
Есть |
З |
|
LC |
|
|
|
|
108 рад |
— 2 балла |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3. |
|
Есть |
|
|
|
|
|
— 3 балла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
BNB З 2
4.Есть Л 0 — 3 балла
0
5.Есть 0 8 10 5 — 2 балла
6. |
Есть D |
|
|
8мм — 3 балла |
||||
|
|
|
||||||
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
7. |
Есть Nп |
|
|
|
Л |
— 3 балла |
||
|
q 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
8. Есть Nп 1300 — 2 балла Итого: 20 баллов
6
Вариант для студентов магистратуры и специалитета
Часть 1. Проверка фундаментальных знаний
1М (20 баллов). Цивилизация зеленых камнеедов живет в шаровом скоплении — изолированной (ШС лежат за пределами Галактики, являясь ее спутниками) компактной группе звёзд с изотропным распределением скоростей, удерживаемых общим гравитационным полем. Камнееды решили послать исследовательский зонд в соседнее скопление, отстоящее от них на расстояние L = 2000 св. лет. Однако их реактивные технологии позволяют разогнать зонд только до V0 = 1000 км/с. Поскольку камнееды живут в центре скопления, где высока концентрация звезд, они решили доразогнать зонд до полноценных субсветовых скоростей с помощью многократных гравитационных маневров на окрестных нейтронных звездах. Считая, что среднее расстояние между нейтронными звездами a = 0,5 св. года, оцените суммарное время полета зонда. Радиус скопления R = 60 св. лет, суммарная масса его звезд M = 2.1036 кг. Гравитационная постоянная
G = 6,67.10-11 м3кг-1с-2.
Решение (Аникин Ю.А.):
Среднеквадратичная скорость звезд в центре скопления
|
|
GM |
|
15 км/c |
|
R |
|||||
|
|
|
|
После чего, применяя решение варианта для бакалавров, найдем, что оптимальная скорость равна
|
V |
L |
60 тыс. км/c |
||||||
|
|
||||||||
|
|
к |
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
А суммарное время полета равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
L |
|
|
||||
T |
|
ln |
|
|
|
1 |
50 тыс. лет |
||
|
|
|
|||||||
|
|
V0a |
|
|
|||||
Критерии оценивания:
1.Есть V ~ — 2 балла
2. Есть |
|
GM |
|
— 1 балл |
|
R |
|||||
|
|
|
|
3.Есть 15 км/c — 1 балл
4. Есть t |
a |
|
a |
|
1 |
V — 2 балла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V |
|
V |
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
5а. Найдено, что имеется логарифмическая зависимость времени разгона и конечной скорости — 3 балла |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
V |
|
|
5б. Получены точные коэффициенты в этой зависимости (точная формула) |
t |
|
ln |
к |
— 3 баллов |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
|
||
6. Есть корректная процедура минимизации T |
L |
|
a |
V |
|
|
|
|
ln |
к |
или эквивалентного выражения — 4 балла |
||
|
|
|
||||
|
Vк |
|
V0 |
|
||
|
|
a |
|
L |
|
||
7. |
Есть T |
|
ln |
|
|
1 — 2 балла |
|
|
|
||||||
|
|
|
V0a |
|
|||
8. |
Есть T 50 тыс. лет (т.к. задача оценочная, то принимается ответ точный по порядку, но отличающийся |
||||||
не более чем в два раза в ту или иную сторону - от 25 тыс. до 100 тыс.) — 2 балла Итого: 20 баллов
7
2М (20 баллов). Заряд Q > 0 однородно распределен по поверхности цилиндра радиуса R и высотой H. Бусинка c отрицательным зарядом может свободно скользить по тонкой непроводящей спице, совпадающей с осью цилиндра.
—Найдите период T малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Величина удельного заряда бусинки q
m известна.
—Во сколько раз изменится период малых колебаний бусинки относительно положения равновесия, если знак её заряда изменить на противоположный, а спицу расположить по диаметру серединного (равноотстоящего от оснований) сечения цилиндра?
Решение (Плис В.И.): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для начала найдем Ex (x) , |
начало отсчета в положении равновесия. Заметим, что поле Ex (x) |
- это поле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
однородно заряженного кольца высотой 2x , лежащего на дальнем от точки x крае цилиндра. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заряд этого кольца |
Q |
2x . Расстояние до точки наблюдения |
L |
R2 |
H 2 |
|
. Тогда поле кольца на оси (SI) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex (x) k |
Q |
|
2x |
1 |
|
|
|
H |
|
k |
Q |
x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
2L |
|
|
L |
|
|||||||||||||||||||
Уравнение движения бусинки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
mx |
|
q |
|
Ex (x) |
|
q |
|
k |
|
|
Q |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Частота гармонических колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
Q |
|
, |
период |
T |
|
2 L |
|
|
|
L |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k Q |
|
||||||||
Для определения зависимости Er (r) |
|
вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса в локальной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE |
1 |
|
|
E |
|
r |
|
|
E |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда Er (r) k |
Q |
r . Период увеличится в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Альтернативно (теорема Гаусса в интегральной форме): |
поток |
|
вектора E через поверхность |
соосного с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заряженным небольшого цилиндра (радиус основания r , высота 2x ( r, x R, H ) равен нулю. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далее вычислим величины потоков: Ф1 - через каждое основание |
|
и Ф2 - через боковую поверхность гауссова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цилиндра, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф k |
Q |
x r2 , |
|
|
|
|
2 r2x E (r) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||||||||||||||||||
По теореме Гаусса 2Ф1 Ф2 |
0 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 r 2x Er (r) 2 k QL3 x r2 .
Отсюда получаем, что в серединной плоскости цилиндра при смещении r от оси величина вектора напряженности пропорциональна смещению
Er (r) k 2QL3 r .
Критерии оценивания:
1.Есть Ex (x) k LQ3 x — 3 балла
2. Есть T 2 L |
|
L |
|
— 3 балла |
|
|
|||
k Q |
3.Есть теорема Гаусса — 3 балла
8
4.Получено Er (r) k 2QL3 r — 8 баллов
5.Есть «период увеличится в 
2 раз» — 3 балла Итого: 20 баллов
3М (20 баллов). Фотонная ракета равномерно движется со скоростью V = 0,99c через межзвездный водородный газ с концентрацией n = 1,0.106 м-3. Площадь поперечного сечения ракеты S = 20 м2.
Какую мощность N развивают двигатели ракеты?
Столкновения с водородом считайте неупругими. Масса атома водорода m = 1,67.10-27кг.
Решение (Плис В.И.):
ВИСО ракеты импульс атома mV , здесь –релятивистский фактор.
Вединицу времени к ракете прилипают nVS атомов.
Тогда сила тяги |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
dP |
2mnV 2S . |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мощность фотонных двигателей |
|
|
|
|
|
|
|
||
N 2mnV 2Sc |
|
1,0 |
1,67 10 27 1,0 106 0,99 3 108 |
2 |
20 |
3 108 |
44, 4 МВт. |
||
|
|
|
|||||||
|
0,992 |
|
|||||||
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Критерии оценивания:
1. Есть импульс атома mV — 2 балла
2. Есть число прилипающих в единицу времени атомов nVS — 4 балла
3. Есть второй закон Ньютона, работающий в релятивистском случае = — 2 балла
4. Получена сила тяги F 2mnV 2 S — 5 баллов 5. Есть N 2mnV 2 Sc — 5 баллов
6. Есть N 40 МВт — 2 балла Итого: 20 баллов
Часть 2. Проверка практических знаний
4М (20 баллов). Экспериментально было установлено, что в течение примерно часа показания весов с грузом, привязанным к накачанному гелием воздушному шарику, с
течением |
времени |
увеличиваются |
по |
линейному |
закону |
(см. |
рис.): |
m (г) = 6,31 + 0,00674t (мин). Это может быть связано с уменьшением подъёмной силы шарика из-за диффузии гелия через резиновую оболочку. Оцените коэффициент диффузии гелия через резину. Площадь поверхности накачанного шарика в начале опыта S = 3200 см2, толщина оболочки δ = 30 мкм. Считайте, что давление газа в шарике равно атмосферному P0 = 105 Па, а температура окружающего воздуха и гелия в шарике T = 23 oC. Считайте также, что
оболочка шарика проницаема только для гелия и непроницаема для других газов.
9
Решение (Гуденко А.В.): |
|
|
|
Плотность потока гелия j (число молекул, |
проникающих через единичную площадку резины в единицу времени) |
||
определяется законом Фика: j = D n/δ, где D - |
коэффициент диффузии гелия через резину, n = n – |
n0 - |
разность |
концентраций n гелия внутри и вне шарика n0. |
|
|
|
Считая концентрацию гелия вне шарика n0 = 0, находим, что за небольшое время t через всю поверхность шарика |
|||
в атмосферу выйдет N = jSt = DSnt/δ = DSNt/δV атомов гелия (N – число атомов гелия в объёме шарика V). |
|
|
|
Так как V ~ N (P = const, T = const), то из-за утечки гелия объём шарика уменьшается на величину: |
V = ( |
N/N)V = |
|
DSt/δ. Это приводит к уменьшению подъёмной силы шарика на величину: Fп = (ρ0 – ρНе)ΔVg = DS(ρ0 – ρНе)gt/δ, где ρ0 – плотность воздуха, ρНе – плотность гелия. Эта формула определяет закон изменения (уменьшения) подъёмной силы шарика с течением времени: Fп(t) = F0 – DS(ρ0 – ρНе)gt/δ, где F0 = Fп(0) – подъёмная сила в начальный момент времени.
Сила, действующая на платформу весов, равна: F = mгg – Fп, где mг – суммарная масса груза и оболочки с ниткой. Поскольку с течением времени подъёмная сила уменьшается линейно, то показания весов, начиная с некоторого начального значения m0, увеличиваются по линейному закону:
m(t) = F/g = mг – F0/g + DS(ρ0 – ρНе)t/δ = m0 + DS(ρ0 – ρНе)t/δ = m0 + βt.
Таким образом, коэффициент диффузии D можно определить по значению углового коэффициенту β графика экспериментальной зависимости m(t) по формуле: D = βδ/S(ρ0 – ρНе). Плотность воздуха: ρ0 = P0μвоз/RT ≈ 1,18 мг/см3; плотность гелия: ρг = P0μг/RT ≈ 0,163 мг/см3.
Из экспериментальной зависимости угловой коэффициент: β = 6,74.10-3 г/мин ≈ 1,12.10-4 г/с. Коэффициент диффузии гелия через резину:
D = βδ/S(ρ0 – ρНе) = 1,12.10-4*3.10-3/[3,2.103(1,18 – 0,163) .10-3] ≈ 1.10-7 см2/с.
Критерии оценивания:
1.Есть закон Фика — 2 балла
2. Есть V = ( N/N)V = DSt/δ — 3 балла
3.Есть Fп = (ρ0 – ρНе)ΔVg — 2 балла
4.Есть Fп(t) = F0 – DS(ρ0 – ρНе)gt/δ — 2 балла
5.Есть m(t) = m0 + DS(ρ0 – ρНе)t/δ — 3 балла
6.Есть D = βδ/S(ρ0 – ρНе) — 3 балла
7.Есть D ≈ 1.10-7 см2/с ) — 3 балла
8.Есть обоснование пренебрежения изменением величин S и δ — 2 балла Итого: 20 баллов)
5М (20 баллов). Человек невооруженным глазом способен разглядеть на ночном небе подобную Солнцу звезду, находящуюся на расстоянии не более LЗ = 15 пк. Плутон — покрытая льдом карликовая планета Солнечной системы — рассеивает равномерно во все стороны = 60% попадающего на нее солнечного света. Оцените расстояние LПmax, на котором человек может разглядеть Плутон в телескоп. Оцените диаметр DT телескопа, в который можно с Земли гарантировано увидеть глазом реальный Плутон, если максимальное расстояние от него до Солнца LП = 50 а.е. Диаметр Плутона DП = 2400 км. Расстояние от Земли до Солнца LC = 1а.е. = 1,5.108 км. Угловой размер (диаметр) Солнца приближенно равен = 0,01 рад. Диаметр зрачка глаза принять равным DГ = 3 мм.
Примечание: 1 парсек (пк) – расстояние, с которого радиус орбиты Земли виден под углом в одну угловую секунду.
Решение (Дьячков Н.В.):
|
|
Пусть |
яркость |
Солнца |
равна |
|
B0 . |
|
Яркость |
|
видимого |
дифракционного пятна от |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
D 2 |
|
|
|
2 |
|
|
L |
2 |
|
|
|
|
0,5мкм 2 |
|
0,01 |
|
|
2 |
3 10 10 B0 . |
|||||||||
BЗ |
B0 |
1, 22 |
|
|
|
С |
|
B0 1, 22 |
|
|
|
|
|
С |
|
B0 1, 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
LЗ |
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
DГ |
|
LЗ |
|
|
DГ |
|
|
|
|
|
|
|
3000мкм |
|
15 2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Яркость поверхности планеты |
|
|
|
|
|
DС |
|
LС 2 |
|
|
LС |
|
|
B0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
BП min B0 |
|
|
|
|
|
B0 |
|
LП max |
BЗ |
LП max |
|
|
|
|
|
BЗ |
|
220а.е. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LП max |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
звезды
(для того,
чтобы планету можно было разглядеть в телескоп, яркость ее поверхности должна превысить установленный порог
|
|
|
L |
2 |
|
|
видимости). Яркость поверхности реального Плутона |
BП |
BП min |
П max |
|
. Яркость изображения планеты в телескопе |
|
LП |
||||||
|
|
|
|
|
|
BП min . |
|
должна быть не менее |
BП 1, 22 |
|
|
|
|
10
|
2 |
|
D 2 |
BП min |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
||||
DТ |
|
LП |
|
||
1, 22 50 |
L |
0, 23 14 5 10 7 м |
1,5 108 км |
45см . |
|
С |
|
||||
DП |
2400км |
||||
|
|
|
|
L |
2 |
|
BП |
П |
|
LП max
DТ |
1, 22 |
LП |
|
LП |
|
DП |
|
LП max |
|||
|
|
|
|
Критерии оценивания: |
|
|
|
|
|
|
|||
1. Есть B B |
|
|
|
2 |
D |
2 |
|
||
|
1, 22 |
|
|
|
С |
— 3 балла |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
З |
0 |
|
|
LЗ |
|
||||
|
|
|
|
DГ |
|
|
|
||
2.Есть B B DС 
2 2 — 3 балла
Пmin 0 L
П max
3. Есть LП max |
|
LС |
|
B0 |
|
— 4 балла |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
BЗ |
||
4.Есть LП max 220а.е. — 3 балла
5. Есть DТ |
1, 22 |
LП |
|
LП |
— 4 балла |
DП |
|
LП max |
|||
|
|
|
|
6. Есть DТ 45 см — 3 балла Итого: 20 баллов
© МФТИ