Meтод Фибоначчи

В данном методе также реализована стратегия, обеспечивающая максимальное гарантированное сокращение интервала неопределенности при заданном количестве вычислений функции. Стратегия метола опирается на числа Фибоначчи.

Определение. Числа Фибоначчи определяются по формуле: F₀ = F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2 (n = 2, 3…). Последовательность Фибоначчи: F_n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Метод относится к последовательным стратегиям. Перед началом работы алгоритма следует вычислить число N вычислений функции. Пусть известен начальный промежуток неопределенности L₀ = [a₀,b₀] и задана точность  - длина конечного промежутка неопределенности. Тогда N вычисляется как наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

Итерации алгоритма осуществляются по следующему алгоритму. На k-й итерации метода вычисляются координаты точек:

,

Очевидно, справедливо ,

то есть точки y_k и z_k выбираются симметрично внутри отрезка [a_k, b_k], причем y_k < z_k.

Следующий промежуток неопределенности определяется по правилу:

1. Если , то , , ,

2. Если , то , , ,

3. Если , то , .

Работа алгоритма заканчивается, как только , при этом выполняется условие, что длина текущего интервала не станет меньше заданной наперед точности >0, которую называют требуемой точностью метода. При этом полагают где k-номер последней итерации.

Основная идея метода заключается в использовании чисел Фибоначчи для деления отрезка на меньшие части. Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентной формулой:

• F(0) = 0

• F(1) = 1

• F(n) = F(n-1) + F(n-2) для n ≥ 2

Учитывая, что в каждый очередной интервал неопределенности попадает один предыдущий эксперимент, для продолжения поиска новую точку следует располагать в этом интервале симметрично оставшимся. Если обозначить через X(j) координату оставшейся точки на у-м этапе поиска, a S_1y и S_2j- — соответственно левую и правую границы очередного интервала неопределенности, то координата X_j+l новой точки задается соотношением:

Пример работы

Пример реализации метода Фибоначчи.

Таблица 2. Метод Золотого сечения

Метод	Фибоначчи:
Итерация	a	y	z	b	f(y)	f(z)
1	0.000000	0.381944	0.618056	1.000000	0.013937	0.013937
2	0.381944	0.472144	0.527856	0.618056	0.000776	0.000775
3	0.472144	0.527856	0.562344	0.618056	0.000776	0.003887
4	0.472144	0.506632	0.527856	0.562344	0.000044	0.000776
5	0.472144	0.493368	0.506632	0.527856	0.000044	0.000043
6	0.493368	0.506632	0.514591	0.527856	0.000044	0.000213
7	0.493368	0.501326	0.506632	0.514591	0.000002	0.000044
8	0.493368	0.498674	0.501326	0.506632	0.000002	0.000002
9	0.498674	0.501326	0.503979	0.506632	0.000002	0.000016
Результат:
x_min	=	0.501326	Число	итераций:	9
f_min	=	0.000002

Шаг 1

Вычисляется первая итерация, задаются начальные значения интервала L — интервала неопределённости, начало интервала A = 0, конец интервала B = 1. Вычисляются значения y и z, значения функций f(z) и f(y).

Шаг 2

На втором шаге значение начала интервала A становится равным y, а конца интервала B равным z, так как значения функций f(y) и f(z) равны. Значения начала и конца сдвигаются.

Шаг 3

На третьем шаге значение конца интервала B не меняется, а значение начала интервала A меняется и становится равным y, так как функция f(y) больше, чем f(z).

Шаг 4

На четвёртом шаге значение начала интервала A не меняется, а значение конца интервала B меняется и становится равным z, так как функция f(y) меньше, чем f(z).

Шаг 5

На пятом шаге значение начала интервала A не меняется, а значение конца интервала B меняется и становится равным z, так как функция f(y) меньше, чем f(z).

Шаг 6

На шестом шаге значение конца интервала B не меняется, а значение начала интервала A меняется и становится равным y, так как функция f(y) больше, чем f(z).

Шаг 7

На седьмом шаге значение начала интервала A становится равным y, а конца интервала B равным z, так как значения функций f(y) и f(z) равны. Значения начала и конца сдвигаются.

Шаг 8

На восьмом шаге значение начала интервала A не меняется, а значение конца интервала B меняется и становится равным z, так как вычисленное значение функции f(y) меньше, чем f(z).

Шаг 9

На девятом шаге значение конца интервала B не меняется, а значение начала интервала A меняется и становится равным y, так как функция f(y) больше, чем f(z).