Лабораторные работы. Владимиров / Оптимизация_Лабораторная_№5_Отчет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

Факультет инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра вычислительной техники и программной инженерии

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

По дисциплине

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

Вариант 8

Выполнил:

Студент 2-го курса

Дневного отделения

Группы ИКПИ-32

Андреев А. А.,

Жилкин Д. А,

Яковлев М. А.

Преподаватель:

Владимиров С. А.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Приобретение навыков постановки и решения задач оптимизации методом динамического программирования.

Постановка задачи

На региональной сети дорог имеется несколько маршрутов, по которым можно доставить груз из пункта 1 в пункт 10. Известны стоимости перевозки единицы груза между пунктами сети. Требуется:

1. Методом динамического программирования найти на сети наиболее экономный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10 и определить соответствующие ему затраты.

2. Выписать оптимальные маршруты перевозки груза из всех остальных пунктов сети в пункт 10 и указать соответствующие им минимальные затраты на доставку.

3. При аналитическом решении вручную привести формулы и таблицы оптимизации по этапам, при программном решении сопроводить скриптовый код подробными комментариями.

4. Результаты работы оформить в виде таблицы или колонок с данными: Н. П. «А» — н. п. «Б» — ОПТИМАЛЬНЫЙ МАРШРУТ — ЗАТРАТЫ.

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	6	2	6
2	6	0			7		3
3	2		0		9	2	8
4	6			0	5	2	9
5		7	9	5	0			4	6
6			2	2		0		7	4
7		3	8	9			0		6
8					4	7		0		7
9					6	4	6		0	6
10								7	6	0

Ход работы

1. Основное функциональное уравнение динамического программирования:

𝐹_𝑖(𝑥_𝑖−1, 𝑈𝑖) = extr(U_i) [𝑍_𝑖(𝑥_𝑖−1, 𝑈_𝑖) + 𝐹_𝑖+1(𝑥_𝑖)], 𝑖 = 1 … 𝑁

𝑥_𝑖−1 — множество состояний, в которых система находится перед 𝑖-м шагом,

𝑥_𝑖 — множество состояний системы в конце 𝑖-го шага, 𝑈_𝑖 — множество управлений на 𝑖-ом шаге, под воздействием которых система переходит в одно из состояний множества 𝑥_𝑖, 𝐹_𝑖(𝑥_𝑖−1,𝑈_𝑖) — условно-оптимальное значение целевой функции на интервале от 𝑖-ого до 𝑁-го шага включительно, 𝑍_𝑖(𝑥_𝑖−1, 𝑈_𝑖) — значение целевой функции на 𝑖-ом шаге для всех управлений из множества 𝑈_𝑖, 𝐹_𝑖+1(𝑥_𝑖) — условно оптимальное значение целевой функции на интервале от (𝑖 + 1)-го шага до 𝑁-го включительно. На последнем 𝑁-м шаге справедлива следующая формула: 𝐹_𝑁(𝑥_𝑁−1, 𝑈_𝑁) = extr(U_𝑁) [𝑍_𝑁(𝑥_𝑁−1, 𝑈_𝑁)].

2. Нахождение наиболее экономного маршрута перевозки груза из пункта 1 в

пункт 10.

Разобьем все пункты района на группы. К группе I отнесем пункт 1, к группе II — пункты, в которые можно попасть непосредственно из пункта 1 (пункты 2, 3, 4), к группе III те пункты, в которые можно попасть непосредственно из любого пункта группы II (5, 6, 7), к группе IV те пункты, в которые можно попасть непосредственно из любого пункта группы III (8, 9). В результате движение транспорта с грузом из пункта 1 в пункт 10 можно рассматривать как четырехшаговый процесс.

I	II	III	IV	V
	2	5	8
1	3	6	9	10
	4	7

Первый этап: 𝐹₄(𝑥₃, 𝑈₄) = min(U₄) 𝑍₄(𝑥₃, 𝑈₄).

X3	U4	X4	F4
C8	8-10	C10	7
C9	9-10	C10	6

Второй этап: 𝐹₃(𝑥₂, 𝑈₃) = min(U₃) [𝑍₃(𝑥₂, 𝑈₃) + 𝐹₄(𝑥₃)].

X2	U3	X3	Z3	F4	Z3+F4	F3
C5	5-8	C8	4	7	11	11
	5-9	C9	6	6	12	-
C6	6-8	C8	7	7	14	-
	6-9	C9	4	6	10	10
C7	7-9	C9	6	6	12	12

Третий этап: 𝐹₂(𝑥₁, 𝑈₂) = min(U₂) [𝑍₂(𝑥₁, 𝑈₂) + 𝐹₃(𝑥₂)].

X1	U2	X2	Z2	F3	Z2+F3	F2
C2	2-5	C5	7	11	18	-
	2-7	C7	3	12	15	15
C3	3-5	C5	9	11	20	-
	3-6	C6	2	10	12	12
	3-7	C7	8	12	20	-
C4	4-5	C5	5	11	16	-
	4-6	C6	2	10	12	12
	4-7	C7	9	12	21	-

Заключительный четвертый этап: 𝐹₁(𝑥₀, 𝑈₁) = min(U₁) [𝑍₁(𝑥₀, 𝑈₁) + 𝐹₂(𝑥₁)].

X0	U1	X1	Z1	F2	Z1+F2	F1
C1	1-2	C2	6	15	21
	1-3	C3	2	12	14	14
	1-4	C4	6	12	18

Наиболее экономный маршрут перевозки: 1 → 3 → 6 → 9 → 10.

Транспортные расходы: 2 + 2 + 4 + 6 = 14 денежных единиц на единицу груза.

Таким же образом находим оптимальные маршруты перевозки груза из всех пунктов сети в пункт 10:

Начальный пункт	Конечный пункт	Оптимальный путь	Затраты
1	10	1 → 3 → 6 → 9 → 10	14
2		2 → 7 → 9 → 10	15
3		3 → 6 → 9 → 10	12
4		4 → 6 → 9 → 10	12
5		5 → 8 → 10	11
6		6 → 9 → 10	10
7		7 → 9 → 10	12
8		8 → 10	7
9		9 → 10	6

Ответы на вопросы:

1. Динамическое программирование — специальный метод оптимизации, суть которого состоит в отыскании оптимального решения путем выполнения вычислений в несколько шагов (этапов). Динамическое программирование — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи.

2. Методом динамического программирования можно решать следующие задачи:

1) Задача о выборе наиболее экономного маршрута.

2) Задача о вычислении чисел Фибоначчи.

3) Алгоритм Флойда — Уоршелла. Поиск кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа.

4) Алгоритм Беллмана — Форда. Поиск кратчайшего пути во взвешенном графе между двумя заданными вершинами.

3. Алгоритм решения задач методом динамического программирования:

1) Решить отдельные части задачи (подзадачи) только один раз, сократив количество вычислений.

2) Объединить решения подзадач в одно общее решение.

4. Основное функциональное уравнение динамического программирования: 𝐹_𝑖(𝑥_𝑖−1, 𝑈_𝑖) = extr(U_i) [𝑍_𝑖(𝑥_𝑖−1, 𝑈_𝑖) + 𝐹𝑖₊₁(𝑥_𝑖)], 𝑖 = 1 … 𝑁

5. Вычислительная процедура метода динамического программирования:

1) Первый этап: длительный и трудоемкий. Решение задачи от конца к началу, т. е. определение условно-оптимального решения.

2) Второй этап: короткий и уточняющий решение первого этапа. Решение задачи от начала к концу, т. е. определение безусловно оптимального решения.