ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» Факультет инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра вычислительной техники и программной инженерии ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

По дисциплине

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

Вариант 8

Выполнил:

Студент 2-го курса Дневного отделения Группы ИКПИ-32

Андреев А. А.,

Жилкин Д. А,

Яковлев М. А.

Преподаватель:

Владимиров С. А.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Приобретение навыков решения поставленной в условиях неопределенности задачи путем проведения оценки ситуации различными критериями и нахождения оптимальной альтернативы из всех возможных.

Постановка задачи

Намечается строительство городского торгового комплекса. Имеются пять проектов строительства R j ( j= 1–5). Определена экономическая эффективность Vji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении четырех сроков Si (i= 1–4) рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в табл. 3.14. Требуется выбрать лучший проект строительства.

Рисунок 1. Вариант задачи

Ход работы

Решение по критерию Лапласа

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного обоснования,

который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояния P(s;)

неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний равны между собой. Если при этом V (aj,si) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает:

Рисунок 2. Формула решения(Критерий

Рисунок 3. Решения задачи по критерий Лапласа

Вывод по критерию Лапласа: Оптимальный проект — R1, так как обеспечивает максимальную эффективность

Решение по максиминному критерию

Минимаксный (максиминный) критерий основан на консервативном подходе и осторожном поведении лица принимающего решение, и сводится к выбору наименьшей альтернативы из наибольших или наоборот — из наименьших альтернатив выбирают наибольшую. Если величина представляет получаемую V (a j, si) прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение,

обеспечивающее

Рисунок 4. Формула решения с помощью максиминного критерия

Рисунок 5. Решение задачи по максиминному критерию

Вывод по максиминному критерию: максимальная эффективность достигается при выборе проекта R3.

Решение по критерию Сэвиджа

Критерий Сэвиджа стремится смягчить определенный консерватизм ми-

нимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей

(выигрышей или проигрышей) V (a j, si) матрицей рисков (потерь) r(a j, si),

которая определяется следующим образом:

Рисунок 6. Формула решения(Критерий Сэвиджа)

Рисунок 7. Решение задачи по критерию Сэвиджа

Вывод по критерию Сэвиджа: проект R1 является наиболее эффективным согласно критерию Сэвиджа

Решение по критерию Гурвица

Критерий Гурвица охватывает ряд различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного

(консервативного). Для описания склонности лица к оптимизму используется параметр оптимизма 0 α 1.

Пусть величины V (a j, si) представляют доходы. Тогда решению,

выбранному по критерию Гурвица, соответствует:

Рисунок 8. Формула решения(Критерий Гурвица)

Рисунок 9. Решение задачи по критерию Гурвица

Вывод по критерию Гурвица: проект R4 – самый эффективный по критерию Гурвица при = 0.5.

Ответы на вопросы:

1.Что понимается под понятием неопределенность?

Неопределенность — это ситуация, при которой лицо, принимающее решение (ЛПР), не обладает полной информацией о возможных исходах или состояниях природы, которые могут повлиять на результат принятого решения.

В условиях неопределенности ЛПР не может точно предсказать, какое состояние природы реализуется, и, следовательно, не может точно оценить последствия своих действий. Неопределенность может быть вызвана

неопределенности.

Математическая модель задачи принятия решений в условиях

неопределенности включает следующие элементы:

возможные внешние условия, которые влияют на результат выбора.

Матрица выигрышей (или потерь): V=[vij]V=[vij], где vijvij — результат

(выигрыш или потери) при выборе стратегии aiai и реализации состояния природы sjsj.

Критерии принятия решений: методы, которые позволяют выбрать оптимальную стратегию в условиях неопределенности (например, критерий Лапласа, минимаксный критерий, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица).

3.Что понимается под понятием риск?

Риск — это возможность возникновения неблагоприятных последствий в результате принятого решения. В контексте теории принятия решений риск связан с неопределенностью исходов и возможными потерями или ущербом,

которые могут возникнуть при реализации того или иного решения. Риск часто измеряется как отклонение от ожидаемого результата или как вероятность наступления нежелательного события.

4.Как определяется матрица рисков?

Матрица рисков (матрица сожалений) строится на основе исходной матрицы выигрышей или потерь. Для каждого состояния природы sjsj

определяется минимальное значение выигрыша (или максимальное значение потерь), а затем каждый элемент матрицы рисков рассчитывается как разница между этим минимальным значением и значением в соответствующей ячейке исходной матрицы:

Матрица рисков отражает "сожаление" ЛПР о том, что было выбрано не самое оптимальное решение для данного состояния природы.

5.Раскройте суть критерия минимакса?

Минимаксный критерий (критерий Вальда) — это подход к принятию решений в условиях неопределенности, который ориентирован на минимизацию максимальных потерь. ЛПР выбирает стратегию, которая обеспечивает наименьший возможный ущерб в наихудшем случае. Этот критерий основан на принципе осторожности и предполагает, что природа будет действовать против ЛПР.

6.Каковы преимущества и недостатки критерия Сэвиджа?

Преимущества критерия Сэвиджа:

Учитывает "сожаление" ЛПР о том, что было выбрано не самое оптимальное решение.

Позволяет минимизировать максимальные риски, что делает его полезным в ситуациях, где важно избежать значительных потерь.

Подходит для задач, где важно учитывать отклонения от оптимальных результатов.

Недостатки критерия Сэвиджа:

Может быть излишне консервативным, так как ориентирован на наихудший сценарий.

Не учитывает вероятности состояний природы, что может привести к неоптимальным решениям в случаях, когда некоторые состояния маловероятны.

Требует построения матрицы рисков, что увеличивает вычислительную сложность.

7.Разъясните критерий Лапласа.

Критерий Лапласа (принцип недостаточного основания) предполагает,

что все состояния природы равновероятны, если нет информации об их вероятностях. Для каждой стратегии aiaiвычисляется среднее значение выигрышей (или потерь) по всем состояниям природы, и выбирается стратегия с наилучшим средним значением.

8.Объясните критерий Гурвица и показатель оптимизма.

Критерий Гурвица — это компромиссный подход между оптимистичным и пессимистичным взглядом на ситуацию. Он учитывает как наилучший, так и наихудший возможные исходы для каждой стратегии.

Критерий использует параметр оптимизма αα (0≤α≤10≤α≤1), который отражает степень оптимизма ЛПР.