Лабораторные работы. Владимиров / Оптимизация_Практика_9_Отчет_(Лямбда)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

Факультет инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра вычислительной техники и программной инженерии

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

По дисциплине

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

Вариант 22

Выполнил:

Студент 2-го курса

Дневного отделения

Группы ИКПИ-32

Андреев А. А.,

Жилкин Д. А,

Яковлев М. А.

Преподаватель:

Владимиров С. А.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Выполнить постановку и нахождение оптимального решения в нелинейных задачах, записанных в виде аналитических функций, используя метод множителей Лагранжа и теорему Каруша-Куна-Таккера.

Постановка задачи

Найти решение для следующей задачи:

Ход работы

1. Определение типа задачи.

Составим матрицу вторых производных целевой функции f(x):

Главные миноры этой матрицы:

Главные миноры неотрицательные. Таким образом, целевая функция является выпуклой. Ограничения задачи линейны. Следовательно, исходная задача является задачей выпуклого программирования.

2. Введем множество 𝑄 = {𝑥: 𝑥₁ ≥ 0, 𝑥₂ ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅³ }. Запишем задачу в виде

𝑓(𝑥) = 𝑥₁² + 𝑥₂² + 𝑥₃² → 𝑚𝑖𝑛

Ограничения задачи выражены в виде линейных функций, значит, проверка условия Слейтера не требуется.

3. Составим функцию Лагранжа:

𝐹(𝑥, 𝜆) = 𝑥₁² + 𝑥₂² + 𝑥₃² + 𝜆₁(2𝑥₁ − 𝑥₂ + 4𝑥₃ − 1) + 𝜆₂(𝑥₁ − 𝑥₃ − 3),

𝑥 ∈ 𝑄, 𝜆 ∈ 𝑅², 𝜆₂

Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

Для 𝜆₂ , из первого уравнения 𝑥₁ = − 𝜆₁, из второго уравнения 𝑥₂ = , из третьего уравнения 𝑥₃ = − 2𝜆₁.

Из четвертого уравнения можно найти → − 2𝜆₁ – − 8𝜆₁ – 1 = 0, откуда 𝜆₁ = , отсюда 𝑥₁ = , 𝑥₂ = , 𝑥₃ = .

Найдена стационарная точка

Для , имеем систему:

Эта система решений не имеет.

Полученную точку{x¹. 𝜆¹} проверим на условие:

Получим:

В крайнем справа выражении находится выпуклая функция, достигающая минимального значения в своей стационарной точке: 𝑥₁ = , 𝑥₂ = , 𝑥₃ = . Следовательно, неравенство верно и {x¹ , λ¹} — седловая точка функции Лагранжа, значит, x⁰ = x¹ — оптимальный план задачи.

Ответ: ,