Лабораторные работы. Владимиров / Оптимизация_Практика_9_Отчет_(Лямбда)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» Факультет инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра вычислительной техники и программной инженерии ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

По дисциплине «Оптимизация и математические методы принятия решений»

Вариант 22

Выполнил: Студент 2-го курса Дневного отделения Группы ИКПИ-32 Андреев А. А., Жилкин Д. А, Яковлев М. А. Преподаватель:

Владимиров С. А.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Выполнить постановку и нахождение оптимального решения в нелинейных задачах, записанных в виде аналитических функций, используя метод множителей Лагранжа и теорему Каруша-Куна- Таккера.

Постановка задачи

Найти решение для следующей задачи:

Ход работы

1. Определение типа задачи.

Составим матрицу вторых производных целевой функции f(x):

Главные миноры этой матрицы:

Главные миноры неотрицательные. Таким образом, целевая функция является выпуклой. Ограничения задачи линейны. Следовательно, исходная задача является задачей выпуклого программирования.

2.Введем множество = { : 1 ≥ 0, 2 ≥ 0, 3 }. Запишем задачу в виде

( ) = 12 + 22 + 32 →

Ограничения задачи выражены в виде линейных функций, значит, проверка условия Слейтера не требуется.

3. Составим функцию Лагранжа:

( , ) = 12 + 22 + 32 + 1(2 1 − 2 + 4 3 − 1) + 2( 1 − 3 − 3),

, 2, 2

Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

Для 2, из первого уравнения 1 = − 1, из второго уравнения 2 = , из третьего уравнения 3 = − 2 1.

Из четвертого уравнения можно найти → − 2 1 – − 8 1 – 1 = 0, откуда

1 = , отсюда 1 = , 2 = , 3 = .

Найдена стационарная точка Для , имеем систему:

Эта система решений не имеет.

Полученную точку{x1. 1} проверим на условие:

Получим:

В крайнем справа выражении находится выпуклая функция, достигающая минимального значения в своей стационарной

точке: 1 = , 2 = , 3 = . Следовательно, неравенство верно и {x1 ,

λ1} — седловая точка функции Лагранжа, значит, x0 = x1 — оптимальный план задачи.

Ответ: ,