Лабораторные работы. Владимиров / Оптимизация_Практика_5_Отчет
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» Факультет инфокоммуникационных сетей и систем
Кафедра вычислительной техники и программной инженерии ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5
По дисциплине
«Оптимизация и математические методы принятия решений»
Вариант 8
Выполнил:
Студент 2-го курса Дневного отделения Группы ИКПИ-32
Андреев А. А.,
Жилкин Д. А,
Яковлев М. А.
Преподаватель:
Владимиров С. А.
Санкт-Петербург
2025
Цели работы
Изучение способов и приобретение навыков построения игровых моделей. Постановка задачи, определение стратегии и принятие решения в условиях спорной или конфликтной ситуации.
Постановка задачи
Задание №1. Задана платежная матрица. Найти цены игры, определить наличие седловой точки и стратегии игроков.
1 |
3 |
−4 |
2 |
[−1 |
4 |
8 |
1 ] |
6 |
−1 |
2 |
10 |
Задание №2. Построить игровую модель индивидуальной задачи. Провести эксперименты ситуации.
Игрок А может записать одну из цифр: 2, 3 или 6; игрок В может записать 1, 4 или 5. Если обе цифры окажутся разной четности, то игрок А получает столько очков, каково произведение записанных цифр; если одной четности — то очки достаются игроку В. Составить платежную матрицу, найти нижнюю и верхнюю чистые цены, максиминную и минимаксную стратегии игроков.
2
Ход работы
Задание №1
|
|
Стратегии 2-го игрока |
|
|
|
|
|||||
Стратегии 1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max(min |
го игрока |
B1 |
|
B2 |
|
B3 |
|
B4 |
|
min ai |
|
ai) |
A1 |
|
1 |
|
3 |
|
-4 |
|
2 |
|
-4 |
|
A2 |
|
-1 |
|
4 |
|
8 |
|
1 |
|
-1 |
-1 |
A3 |
|
6 |
|
-1 |
|
2 |
|
10 |
|
-1 |
-1 |
max Bj |
|
6 |
|
4 |
|
8 |
|
10 |
|
|
|
min(max Bj) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Игрок , исходя из максиминного критерия, выбирает стратегию 2 или А3, которая будет его гарантированным выигрышем при любых стратегиях игрока . = -1 — нижняя цена игры. Игрок , исходя из минимаксного критерия, выбирает стратегию 2, которая минимизирует его максимальные проигрыши. Величина = 4 — верхняя цена игры, которая будет максимально возможным проигрышем игрока при любых стратегиях игрока . Так как ≠ , то седловая точка отсутствует.
Задание №2
Стратегии 1- |
Стратегии 2-го игрока |
|
|
||
го игрока |
B(1) |
B(4) |
B(5) |
min ai |
max(min ai) |
|
|
|
|
|
|
A(2) |
2 |
-8 |
-10 |
-10 |
-10 |
|
|
|
|
|
|
A(3) |
-3 |
12 |
-15 |
-15 |
|
|
|
|
|
|
|
A(6) |
6 |
-24 |
30 |
-24 |
|
|
|
|
|
|
|
max Bj |
6 |
12 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
min(max Bj) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элемент a11 = 2, так как в ситуации (A1, B1) один игрок записывают нечетное число, а другой четное. Выигрыш игрока А равен 1*2 = 2. Элемент a12 = −8, так как в ситуации (A1, B2) игрок А записывает число 2, а игрок В — число 4, т.е. числа одинаковой четности. Выигрыш игрока В равен 10, а выигрыш игрока А соответственно составит −10. Аналогичным образом вычисляются остальные элементы платежной матрицы. После определения αi и βj отмечаем, что нижняя цена игры α = max(i) αi = −10 не равна верхней цене игры β = min(j) βj = 6, поэтому данная игра не имеет седловой точки. Максиминной для игрока А будет чистая стратегия A1. Пользуясь такой стратегией, игрок А выигрывает не менее −10 очков (проигрывает не более 10). Минимаксными для игрока В будут чистая стратегия B1, при которых он проигрывает не более 6 очков.
Примеры игровых ситуаций:
1.Игрок выбирает 1, игрок выбирает 1. Первый победил.
2.Игрок выбирает 2, игрок выбирает 2. Первый победил.
3
3.Игрок выбирает 1, игрок выбирает 2. Второй победил.
4.Игрок выбирает 2, игрок выбирает 3. Второй победил.
5.Игрок выбирает 3, игрок выбирает 3. Первый победил.
6.Игрок выбирает 3, игрок выбирает 1. Первый победил.
7.Игрок выбирает 1, игрок выбирает 3. Второй победил.
8.Игрок выбирает 2, игрок выбирает 1. Второй победил.
9.Игрок выбирает 3, игрок выбирает 2. Второй победил.
4
Ответы на вопросы:
1.Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу
— в зависимости от поведения других игроков.
2.Стратегия игры — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.
3.Игры с нулевой суммой — игра, в которой выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого. Например, «Орёл или Решка». Игры с ненулевой суммой — игра, в которой выигрыш одного игрока не зависит от проигрыша другого. Например, компьютерная игра жанра «война», когда каждый проигрывает больше, чем приобретает. После войны сумма выигрышей сторон считается отрицательной.
4.Конечная игра — класс игр, характеризующихся тем, что у каждого игрока имеется только конечное число альтернатив. Бесконечная игра — класс игр, характеризующихся тем, что у каждого игрока имеется бесконечное число альтернатив.
5.Платежная матрица — это метод статистической теории принятия решений, способствующий выбору игроком правильного варианта. Платежная матрица — это матрица выигрышных очков первого игрока A.
6.Седловая точка матрицы — элемент матрицы, который одновременно является минимальным элементом в соответствующей строке матрицы и максимальном элементом в соответствующем столбце матрицы.
7.Нижняя цена игры — гарантированный выигрыш игрока при любой стратегии противника (это тот минимум, который игрок может себе обеспечить, действуя наиболее осторожно). Верхняя цена игры — гарантированный проигрыш игрока при любой стратегии противника (это тот минимальный проигрыш, который может себе обеспечить игрок, действуя наиболее осторожно).
8.Смешанная стратегия игрока — это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.
5