Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра комплексной информационной безопасности электронных вычислительных систем (КИБЭВС)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ

Отчет по лабораторной работе №2

по дисциплине «Методы и средства криптографической защиты информации»

Студент гр. 712-2

_______Л.С.Болтушкин

«__» __________2025 г.

Руководитель

Преподаватель

кафедры КИБЭВС

______ ______ В.А.Полюга

«__» __________2025 г.

Томск 2025

Введение

Целью данной лабораторной работы является исследование циклических групп, колец классов вычетов, изучение поля Галуа и эллиптических кривых.

1. ХОД РАБОТЫ

1. Исследование циклических групп

Циклическая группа – это группа, все элементы которой представимы как степени одного элемента. Если G = ⟨x⟩ и | G | = n, то каждый элемент имеет вид 𝑥^𝑘, где 0 ≤ 𝑘 < 𝑛.

Образующий элемент порождает всю группу, и таких элементов в группе n штук – их количество равно 𝜑⁽𝑛⁾.

Подгруппы циклической группы соответствуют делителям порядка n.

Для каждого положительного делителя существует ровно одна подгруппа соответствующего порядка. Все подгруппы циклической группы также циклические.

На рисунке 1.1 представлено решение тренажера «Исследование циклических групп».

Рисунок 1.1 – Решение тренажера «Исследование циклических групп»

2. Кольца классов вычетов

Кольцо вычетов состоит из чисел от 0 до n – 1 с операциями по модулю

n.

Обратимые элементы в 𝑍_𝑛 – это те, что взаимно просты с n; их

количество равно 𝜑⁽𝑛⁾. Эти элементы образуют группу по умножению по модулю n.

Порядок элемента в группе – это наименьшее k, при котором 𝑎^𝑘 = 1 𝑚𝑜𝑑 𝑛, и он делит 𝜑⁽𝑛⁾.

На рисунке 1.2 представлено решение тренажера «Кольца классов вычетов».

Рисунок 1.2 – Решение тренажера «Кольца классов вычетов»

3. Поля Галуа

Поле Галуа 𝐹_𝑝^𝑛 – это конечные поля, содержащие 𝑝^𝑛 элементов, где p – простое число, а n – натуральное.

На рисунке 1.3 представлено решение тренажера «Поля Галуа».

Рисунок 1.3 – Решение тренажера «Поля Галуа»

4. Эллиптические кривые

Эллиптическая кривая задаётся уравнением 𝑦² = 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏 над полем

𝐹_𝑝.

На рисунке 1.4 представлено решение тренажера «Эллиптические кривые».

Рисунок 1.4 – Решение тренажера «Эллиптические кривые»

Заключение

В ходе выполнения данной лабораторной работы были изучены циклические группы, кольца классов вычетов, поля Галуа и эллиптические кривые.