Теория Лохвицкий / 1 Функции нескольких переменных Конспект

z

z

О

y

y

1

О

x

1

x

Рис. 1

Рис. 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окрестностью (или

ε -окрестностью) точки

M ( x0 , y0 ) называется множество точек плоскости,

координаты которых связа-

ны неравенством ( x − x )2 + ( y − y

0

)2 < ε 2 .

0

Другими словами, окрестностью точки M ( x0 , y0 ) на плоскости будем

называть круг с центром

в этой точке радиуса

ε , не включающий окруж-

ность.

{(

)

}

ПРИМЕР.

D =

x, y

:

x

≤ 1,

y −1

≤ 2 –

прямоугольник с центром в точ-

ке (0,1) (рис. 3) –

ограниченная и замкнутая область;

y

y

3

1

D

Е

О

1

x

-1

О 1

x

-1

Рис. 3

Рис. 4

E = {( x, y ) :

x2 < y < 1} – ограниченная и

открытая

(незамкнутая)

область

(рис. 4);

G = {( x, y ) : x > -1,

y -1

< 2} –

неограниченная и открытая область (рис. 5);

H = {( x, y ) : x ³ -1,

y -1

£ 2} –

неограниченная и замкнутая область (рис. 6).

y

y

3

3

G

Н

-1

1

x

-1

1

О

О

x

-1

-1

Рис. 5

Рис. 6

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Рассмотрим функцию z = z ( x, y ), ( x, y )Î D . Пусть значение переменной

y зафиксировано, то есть y = y0 . Тогда z = z ( x, y0 ) –

функция одной перемен-

ной

x . Зададим

в некоторой

точке

x = x0 приращение Dx ¹ 0 ,

так что

( x0 +

x, y0 ) D .

Полученное

таким

образом

приращение

функции

z ( x0 +

x, y0 ) − z ( x0 , y0 ) =

x z ( x0 , y0 ) называется частным приращением по x

функции z = z ( x, y )

в точке ( x0 ,

y0 ) D . Оно получено в результате изменения

только переменной

x .

Если функция z = z ( x, y0 )

имеет в точке x = x0 производную, то

lim

z ( x0 + Dx, y0 ) - z ( x0 , y0 )

= z¢

( x , y

)

0

x→0

Dx

x

0

называется частной производной первого порядка

функции z = z ( x, y ) по x в

точке ( x0 , y0 ) .

Аналогично, если зафиксировать x = x0

и задать приращение Dy ¹ 0 , так,

что ( x0 ,

y0 + Dy )Î D , то получим частное приращение функции z = z ( x, y ) по

переменной y : y z = z ( x0 ,

y0 +

y ) − z ( x0 , y0 )

в точке ( x0 , y0 ) D . Если функ-

ция z = z ( x0 , y ) имеет производную в точке

y = y0 , то

lim

z ( x0 , y0 +

y ) − z ( x0 , y0 )

= z′y ( x0 , y0 )

y→0

y

а) z =

x2

- 2x + 3y2

y3

z¢

y=const

=

1

× 2x - 2, z¢

= -

3

× x2 + 6 y .

б) z = x y

x

y3

y

x=const

y4

z¢

y=const

= y x y−1,

z¢

x=const

= x y ln x .

x

y

Частные производные первого порядка можно обозначать по-другому:

z¢x

=

∂z , z¢y =

∂z

(сравните с обозначением обыкновенных производных: если

¶x

¶y

). При этом ∂z ,

∂z

z = z ( x) , то

z¢ =

dz

– не частное, а единый неделимый сим-

¶y

dx

¶x

вол, в то время, как обыкновенная производная

dz

–

частное от деления диф-

dx

ференциала

dz

на дифференциал dx .

u¢x

y,z=const = z3

(-1)

(x2

+ 2 y4 )¢x

= -

2xz3

,

(x2 + 2 y4 )2

(x2 + 2 y4 )2

3

(−1)

2

4 ′

8 y3 z3

′

(x

+ 2 y ) y

= z

= − (x2 + 2 y4 )2 ,

uy

x,z=const

(x2 + 2 y4 )2

′

=

3z2

.

uz

x, y=const

x2 + 2 y4

Очевидно,

функция z = z ( x, y ) имеет 8 производных третьего порядка,

16 – четвертого,…,

2n производных n -го порядка.

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂x

∂y

3

∂y ∂x

2

∂x ∂y ∂x

∂y ……∂x

∂x

2

∂y

∂y ∂x ∂y

∂x ∂y

2

3

2

…

∂2 z

∂2 z

∂3 z

∂3 z

Частные

производные

,

,

,

и т.д. называются

∂x ∂y

∂y ∂x

∂x2 ∂y

∂x ∂y2

ПРИМЕР.

Вычислить производные второго порядка

∂2 z

и

∂2 z

от

∂x ∂y

∂y ∂x

z =

y

+ 2x y + x3

функции

y .

x2

¶

(-2)

2

¶

2 z

¶

¶

2

3x2

z

z

+ 2 y + 3x y

= y ×

=

= -

+ 2 +

,

3

3

¶x

y=const

x

¶y ¶x

¶y

¶x

x=const

x

2 y

∂z

=

1

+ 2x +

x3

∂2 z

=

∂

∂z

= −

2

+ 2

+

3x2

.

x

2

x

3

y

∂y

x=const

2

∂x ∂y

∂x

∂y

y=const

2 y

Оказалось,

что эти

смешанные

частные производные

равны:

∂2 z

=

∂2 z

. Это равенство неслучайно.

∂x ∂y

∂y ∂x

порядка: так как уравнение z = z ( x, y )

задает поверхность, а условие x = const

– её сечение плоскостью, то z′ ( x ,

y

) – угловой коэффициент касательной,

y

0

0

проведенной в точке N ( x0 , y0 , z0 )

к кривой,

полученной сечением поверхности

z = z ( x, y )

плоскостью x = x . Аналогично,

z′

( x ,

y ) – угловой коэффициент

0

x

0

0

касательной, проведенной в точке N к кривой, полученной сечением поверхно-

сти z = z ( x, y ) плоскостью y = y0

(рис. 7).

z

z = z ( x, y )

z′x (M ) = tg α

z¢y (M ) = tg β

N

О

y0

y

x0

β

М

α

х

Рассмотрим функцию

z = z ( x, y ), ( x, y ) D и зададим приращения

Dx ¹ 0, Dy ¹ 0 так, чтобы ( x +

x, y + y ) D .

мо в виде:

z = A x + B y + α ( x,

y)

x + β ( x,

y )

y ,

где A, B = const, а

lim

α (

x,

y ) = lim

β (

x, y ) = 0 .

x, y→0

x, y→0

ТЕОРЕМА (достаточное условие дифференцируемости функции двух

переменных). Если функция z = z ( x, y )

имеет в некоторой окрестности точки

M ( x, y ) непрерывные частные производные z′x ( x, y ),

z′y ( x, y ) , то она диффе-

ренцируема в этой точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Зададим

Dx ¹ 0,

Dy ¹ 0

и рассмотрим

полное

приращение функции:

z = z ( x + x, y + y ) − z ( x, y ) =

= (z ( x + x, y + y ) − z ( x + x, y )) +

(z ( x + x, y )

− z ( x, y )).

144444424444443

14444244443

изменяется только y

изменяется только x

Так как по условию обе частные производные первого порядка сущест-

вуют,

применим

к

каждому

слагаемому

теорему

Лагранжа:

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) , c (a, b)

(см. гл. 5).

При b = y + Dy, a = y

получим

z ( x +

x, y +

y ) − z ( x +

x,

y ) = z′y ( x +

x,

)

y , где

– между y и

y + y ;

y

y

Аналогично,

при b = x +

x,

a = x :

z ( x +

x,

y) − z ( x, y) = z′x (

, y)

x , где

–

x

x

между x и x + x .

Тогда

z = z′x (

, y)

x + z′y ( x +

)

x,

y

(6.1)

x

y

lim

z′y ( x + Dx,

) = z′y

( x, y ), lim z′x (

, y ) = z′x ( x, y )

y

x

x, y→0

x, y→0

z′x (

, y ) = z′x ( x, y ) + α (Dx, Dy ) ,

(6.2)

x

z′y ( x + Dx,

) = z′y ( x, y ) + β (Dx, Dy ) ,

(6.3)

y

Обозначив

z′x ( x, y ) = A,

z′y ( x,

y ) = B , получим требуемое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная линейная часть полного приращения функции

z = z ( x, y )

в точке M ( x, y ) называется

ее

полным дифференциалом в этой

точке: dz = z′x ( x, y ) Dx + z′y ( x,

y ) Dy .

Так как x и

y – независимые переменные, то x = dx,

y = dy и

dz = z′x ( x, y ) dx + z′y ( x, y ) dy .

2

ПРИМЕР. Найти полный дифференциал функции z =

y

+ 6x - 2 y

x2

а) в точке M ( x, y) ,

б) в точке A(1, 4).

z¢

= 2

× (-2)

+ 6, z¢

=

1

- 2 .

y

x

y=const

x3

y

x=const

x2

y

-4 y +

1

а) dz ( x, y ) =

6 dx +

- 2 dy ,

2

x

3

y

x

б) dz (1, 4) = (-8 + 6)dx +

1

- 2

dy = -2dx -1,5dy .

2