Теория Лохвицкий / Кратные интегралы

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Конспект для студентов заочного отделения МТУСИ.

повторному. А для того, чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, область должна быть правильном в одном из направлений, ОХ или ОУ.

Определение 1. Область называется правильной в направлении оси ОУ (вертикальной оси), если любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю точку этой области, пересекает ее границу в двух местах.

Определение 2.Область называется правильной в направлении оси ОХ (горизонтальной оси), если любая горизонтальная прямая, проходящая через внутреннюю точку этой области, пересекает ее границу в двух местах.

Область D, изображенная на этом рисунке -правильная в направлении ОУ и неправильная в направлении ОХ.

Повторный интеграл имеет вид

При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по у при условии, что х=const. После подстановки пределов интегрирования по формуле НьютонаЛейбница, подынтегральная функция во внешнем интеграле будем функцией

только переменной х. У этого интеграла пределы интегрирования всегда постоянные, поэтому в итоге вычисления интеграла получается число.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции f(x,y)=x2+xy+2y2

по области D:

Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Вычисляем внутренний интеграл по у при х постоянном:

Теперь вычисляем внешний интеграл от вычисленного только что внутреннего:

= 1/6

Пример 2.Вычислить двойной интеграл

Где область D:

Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

Вычисляем внутренний интеграл, считая х константой. Получаем.

Вычисляем наружный интеграл: