Теория Лохвицкий / 3 Ряды. Конспект

По признаку Даламбера, если = |2 | < 1, то ряд сходится. А если

а это гармонический ряд, который расходится.

При x= − 12 получим ряд

−1 + 12 − 13 + 14- ….

Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно ряд сходится. Ряд сходится условно, так как ряд из модулей (*) расходится.

Условие сходимости выполнено, при чем при всех х.

Ответ: область сходимости – (−∞; ∞).

Свойства степенных рядов.

На любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости:

1.Ряд равномерно сходится.

2.Сумма ряда есть непрерывная функция.

3.Ряд можно почленно интегрировать.

4.Ряд можно почленно дифференцировать

8. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f(x) в точке x=a и её окрестности обладает производными любого порядка, то функцию можно представить в виде ряда, который называется рядом Тейлора:

Если в ряду Тейлора а = 0, то ряд называется рядом Маклорена и имеет вид:

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

1.Экспонента: f(x)= ; все производные от этой функции

( )( ) = ;

(0)= ( )(0) = 1. Подставим эти значения в (**):

2. Функция

( ) = ; (0) = − 0 = 0;

Витоге опять получили функцию sinx, поэтому последовательность коэффициентов (точнее их числителей) такая:

0; 1; 0; -1; 0; 1; 0; -1; и т.д. Ряд Маклорена:

Легко показать, что три полученных выше ряда сходятся при всех х.

Пример 13. Найти 5 членов ряда Маклорена для функции