Теория Лохвицкий / 3 Ряды. Конспект

lim →∞ =±∞ ; т.е. ряд расходится

3.Если q=1, то ряд имеет вид

+ + + +

lim →∞ =lim →∞ = ∞ ; т.е. ряд расходится

4.4. Если q=-1, то ряд имеет вид

− + − +

0, при четном= { , при нечетном

Поэтому предел не существует.

Объединим пункты 1-4. Вывод:

A) Если | | < 1, то ряд из членов геометрической прогрессии (т.е.

бесконечно убывающей) сходится. Его сумма равна

1−

B) Если | | ≥ 1, то ряд из членов геометрической прогрессии расходится.

Свойства.

1.На сходимость ряда не влияет отбрасывание

(добавление) конечного числа членов.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Выделенные маркером члены ряда являются убывающей прогрессией с а1 = 2 и = 13. Сумма этого ряда равна

1− = 1−1/32 = 3. Исходный ряд отличается от ряда с прогрессией двумя членами 14 + 12, поэтому ряд сходится и его сумма равна 14 + 12+3=334

2. Если сходится ряд

1 + 2 + 3 +…+ +…

и его сумма равна S, то ряд

С 1 + С 2 + С 3 +…+С +…,

где С-любое число, также сходится и его сумма равна С S.

3. Если сходятся ряды

1 + 2 + + …

1 + 2 + + …

и их суммы равны, соответственно, и , то сходятся и ряды

( 1 + 1) + ( 2 + 2)+…+ ( + ) +

( 1 − 1) + ( 2 − 2)+…+ ( − ) +

и их суммы равны, соответственно, ( + ) и ( − ).

Т.е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА в теории рядов : Определить сходится или расходится ряд.

Если ряд сходится, то тогда можно вычислить (часто приближенно) или оценить его сумму. Если ряд расходится, то у него не существует сумма.

Для определения сходимости используются признаки сходимости: необходимые и достаточные.

ТЕОРЕМА. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

Если ряд сходится, то его n- член стремится к нулю при → ∞:

lim = 0

→∞

СЛЕДСТВИЕ. ( СУПЕР ВАЖНОЕ) Если n- член НЕ стремится к нулю при → ∞:

lim ≠ 0

→∞

то ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:

12 + 23 + 34+ ….+ −1+…

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +

lim ≠ 0

→∞

Следовательно, ряд расходится.

Важно! Если необходимый признак выполнен, то из этого НЕ следует, что ряд сходится.

Пример 5. Ряд

1 + 12 + 13 + 14+ ….+1+…=∑∞1 1

называется гармоническим. Для него выполняется необходимый признак сходимости, НО ряд РАСХОДИТСЯ. Это будет доказано дальше.

2. Ряды с положительными членами

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

1.Если ряд с большими членами (2) сходится, то ряд (1) с меньшими членами также сходится и ≤ .

2.Если ряд с меньшими членами (1) расходится, то ряд (2) с большими членами также расходится.

который расходится (будет доказано дальше). Это и частный случай ряда Дирихле при p=1 . Применим 2-ой признак сравнения:

Следовательно, исходный ряд также расходится.

3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует

предел отношения (n+1) члена к n-му при → ∞:

lim +1 = ,

→∞

то при <1 ряд сходится, а при >1 расходится.

Замечание. Если предел отношения =1, то ряд может как сходится, так и расходится. В этом случае нужно использовать другие признаки.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость

= 0 < 1.

Следовательно, ряд сходится.

Признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует

предел при → ∞:

lim √ = ,

→∞

то при <1 ряд сходится, а при >1 расходится.

Интегральный признак сходимости. Если члены ряда положительны и не возрастают:

1 ≥ 2 ≥ 3 ≥

и существует непрерывная невозрастающая функция f(x) такая, что

(1) = 1; (2) = 2; (3) = 3; … ; ( ) = ; …

Тогда несобственный интеграл ∫1∞ ( )

и ряд сходятся и расходятся одновременно.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд Дирихле:

В качестве функции ( )возьмем функцию

f(x)= 1 = − . При x=n получаем члены ряда Дирихле.

Интеграл был посчитан при условии ≠ 1.

Если p=1, то ∫1∞ 1 = lim →∞ | | − 1 = ∞.

Итак, при > 1 интеграл, а следовательно, и ряд сходятся.

При ≤ 1 интеграл, а следовательно, и ряд расходятся.

4. Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница. Если в знакочередуюшемся ряду

признак сходимости), то ряд сходится и его сумма меньше первого члена.

Пример 8. Исследовать ряд на сходимость

1 − 12 + 13 − 14+ ….+(−1) +1 1+…

Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1.Знаки чередуются

2.Члены ряда убывают по абсолютной величине

4.Необходимое условие сходимости выполнено: lim →∞ = 0

Вывод: ряд сходится.

5.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Если среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные,

то ряд называют знакопеременным.

Теорема. Если знакопеременный ряд

1 + 2 + + +

такой, что ряд из модулей его членов

1 + 2 + + +

сходится, то и исходный знакопеременный ряд также сходится.

В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Пример 9. Исследовать ряд на сходимость

Рассмотрим ряды

Используем признак сравнения рядов с положительными членами :

меньшими членами также сходится, а следовательно ряд (1) сходится абсолютно.

Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 10. В примере 8 мы доказали, что ряд

1 − 12 + 13 − 14+ ….+(−1) +1 1+…

сходится в соответствии с признаком Лейбница, а ряд из модулей членов ряда - это гармонический ряд, который расходится. Поэтому в соответствии с определением исходный ряд сходится условно.

6. Функциональные ряды.

Если члены ряда являются функциями от переменной х, то такой ряд называется функциональным:

1( ) + 2( ) + + ( ) +

Пример 11. Исследовать ряд на сходимость

1 + + 2 + 3 + + +

Члены этого ряда представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем = . В предыдущих разделах было показано, что ряд сходится при = < 1. Следовательно, если х удовлетворяет неравенствам −1 < < 1 , то ряд сходится. При всех х вне этого интервала ряд расходится. Интервал (-1; 1) называется областью сходимости данного ряда. Сумма ряда равна

Определение. Совокупность значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

7. Степенные ряды

Степенной ряд: 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + + +

Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал радиуса R с центром в начале координат. (где 0 ≤ ≤ ∞)

Таким образом при всех х внутри интервала (- ; ) ряд сходится, притом абсолютно. В интервалах(−∞; ) и ( ; ∞) ряд расходится.

В граничных точках интервала = ± ряд может как сходиться, так и расходиться. Эти точки нужно исследовать отдельно.

Нетрудно показать, используя признак Даламбера, что радиус

Замечание 1. Иногда удобнее использовать другую формулу, которая

Замечание 2. Формулу для определения радиуса сходимости можно использовать только, если ВСЕ коэффициенты при степенях х не

нечетными индексами равны нулю.

Вместо использования формул (в частности, если какие-то = 0) для вычисления радиуса сходимости, можно находить интервал сходимости непосредственно используя признак Даламбера (или Коши).

Замечание 3. Все перечисленное в этом разделе остается в силе, если ряд по степеням (x-a). В этом случае центр интервала сходимости будет точка а.