14. Ряды Фурье

2.1.§1. Пространства Лебега

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

term4-analysis.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2025

Размер:

401.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Математический анализ

2.14. Ряды Фурье

– частичная сумма. Пусть n k.

Sn(x) cos kx dx

f(x) cos kx dx

j Sn(x) cos kx f(x) cos kx j dx Sn f L1(0;2 ) ! 0

Sn(x) cos kx dx

f(x) cos kx dx

j Sn(x) cos kx f(x) cos kx j dx Sn f L1(0;2 ) ! 0

Определение 2.1.

(X; A; ) – пространство с мерой, E X – измеримо.

1 p < +1

Lp(E; ) := ff

: E !

(или

) измеримые и т.ч.

j f jp d < +1g

f Lp(E; ) :=

(

j f j

d )

1/p

∫

. – с точностью до почти везде это норма. Т.е. рассматриваем

классы

эквивалентности по отношению почти везде.

∫

Определение 2.2.

Существенный супремум – inffA : j f(x) j A при почти всех xg ess sup f

vrai sup f

Свойства.

1. ess sup f sup f

2.f(x) ess sup f при почти всех x 2 E.

Доказательство.

B := ess sup f < +1

=) B + n1 f(x) при почти всех x 2 E =) 9en en = 0

B + n1 f(x) при x 2 E n en.

=) e =	en		e = 0
На E n e	(	)			1	8
				B	+ n
	f x					n

=) на E n e f(x) B.

Определение 2.3.

L1(E; ) := ff : E ! R или C измеримые, ess sup j f j < +1g

f L1(E; ) := ess sup j f j

Замечание. (Важный частный случай) E = N; – считающая мера.

Lp(N; ) := f(xn) : ∑1 j xn jp < +1g

n=1

x = ( ∑1 j xn jp)1/p

n=1

Обозначают lp := Lp(N; ).

l1 = L1(N; ) := f(xn) : sup j xn j < +1g

Глава #2

40 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ 14. Ряды Фурье

x := sup j xn j

n2N

p – обозначение далее.

Замечание. (Неравенство Гельдера)

fg 1 f p g q

При p1 + 1q = 1 и p; q 1.

Теорема 2.1 (вложения для пространств Lp). Пусть E < +1 и 1 p < q +1. Тогда

1	1
Lq(E; ) Lp(E; ) и f p ( E)p	q f q

Доказательство.

q ̸= 1
f pp = j f jp d = j f jp 1 d
	E		E		Гёльдер
p	r ∫	q	∫q		q
(j f j )	= j f j		r = p	> 1 s =
(j f j )	= j f j		r = p	> 1 s =	q p
				q p		q p

∫ ∫

( j f jq d )p/q( 1s d ) q = f pq( E) q

Если же q = 1

∫

f pp = j f jp d E ess sup j f j = E f p1

E E

Замечание.

Если E = +1, то включений нет.

Упражнение.

1.Придумать примеры для Lp(R; ).

2.1 p < q +1 =) lp lq.

Теорема 2.2.

Lp(E; ) – полное пространство, 1 p +1

Замечание.

Полное – любая фундаментальная последовательность сходится.

Доказательство.

Для 1 p < +1. (Т.к. пользоваться p = +1 не будем)

Пусть fn – фундаментальная последовательность.
8" > 0 9N 8n; m N fn fm p < ".
" :=	1	Берем nk, т.ч. 8n; m nk				fn	fm p <	1
" :=	2k	Берем nk, т.ч. 8n; m nk				fn	fm p <	2k
Можно выбрать так, что n1 < n2 < n3 < :::
1					k∑
			1		1	fnk < 1.
fnk fnk+1 p <			2k	=)	fnk+1	fnk < 1.
		∑			=1
		∑
S(t) := k=1 fnk+1			(t) fnk		(t)	m
						∑
Sm(t) – частичная сумма Sm(t) = k=1							fnk+1 (t) fnk		(t)

Глава #2

41 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ	14. Ряды Фурье
m
Sm p ∑ fnk+1 fnk p < 1

∫k=1

E j Sm(t) jp d < 1

=) по лемме Фату

lim

Sm(t)

lim

E j

Sm(t) p

E m

∫

Sm(t)

d =

∫

d =

lim

E j

S(t)

E m

∫

=) S(t) почти везде конечно. =) ряд сходится при почти всех t.

=) fn1 (t) +

(fnk+1 (t) fnk (t)) абсолютно сходится при почти всех t.

k∑

=) сходится при почти всех t.

=) его частичные суммы имеют предел при почти всех t.

fn1 (t) +

(fnk+1 (t) fnk (t)) = fnm+1 (t)

k∑

! f0 почти везде.

=) существует f0,

т.ч. fnk

Докажем, что fn

f0 pp ! 0.

fnj (t)

fn(t)

p d (t) <

при n nk;

j k

∫

Устремим

! 1

fnj (t) ! f0(t) почти везде

fnj

fn(t) p d ! j f0(t) fn(t) jp d = f0

fn pp

∫

fn(t)

jlim

(t) fn(t)

d =

f0(t) fn(t)

d =

jlim

E j

∫

Определение 2.4.

: E ! R или C – ступенчатая, если f принимает лишь конечное число значений.

Лемма.

f – ступенчатая, 1 p < +1; f 2 Lp(E; ) () ff ̸= 0g < +1

Доказательство.

f – ступенчатая

=) f =

ak1Ak

k∑

Можем считать,

что Ak дизъюнктны.

f pp = E

k=1 ak1Ak

d = E

k=1 j ak jp 1Ak d = k=1 j ak jp Ak

∫

∑

∫

∑

Сумма конечна

все слагаемые конечны

()

Ak = +

лишь если ak = 0.

()

Определение 2.5.

(X; ) – метрическое пространство, A X.

A – всюду плотно (плотно в X), если Cl A = X.

Пример.

Q плотно в R.

Теорема 2.3.

1 p +1.

Глава #2

42 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Множество ступенчатых функций из Lp(E; ) плотно в Lp(E; ).

Доказательство.

Если f 0 приближается простыми, то f = f+ f

приближается разностью простых =

ступенчатыми.

Случай p = +1

sup f < +

essE

sup f < +

Подправим функцию на множестве нулевой меры,

т.ч. E

Тогда 9φn

: E ! R простые,

т.ч. φn f.

Т.е.

φn

sup

φn

j !

Случай 1 p < +1.

Тогда 9φn

f φn – простые.

f φn pp

∫

= j f φn jp d = (f φn)p d ! 0

lim (f φn) = 0

f – суммируемая мажоранта.

n!1

Определение 2.6.

f – финитная, если она обращается в 0 вне некоторого шара.

Теорема 2.4.

Пусть 1 p < +1; – мера Лебега в Rm.

Тогда финитные бесконечно дифференцируемые функции плотны в Lp(Rm; )

Доказательство.

Без четкого доказательства.

Определение 2.7.

: Rm !

или

h 2 Rm.

fh(t) := f(t + h).

Замечание.

fh Lp(Rm; ) = f Lp(Rm; )

Теорема 2.5 (о непрерывности сдвига).

Если f равномерно непрерывна на Rm, то fh f 1 h!0

Если f 2 Lp(Rm; )

1 p < +1, то fh

f p h!0

Доказательство.

ess

sup

f(t + h)

f(t)

sup

f(t + h) f(t)

< "

m j

t2R

Если j h j < . Но это определение равномерной непрерывности.

Глава #2

43 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

2. Зафиксируем " > 0 и будем искать подходящее > 0, т.ч. fh

f p < " при j h j < .

Возьмем финитную непрерывную функцию g : Rm ! R, т.ч. f

g p < " =) fh

gh p <

f fh p = f g + g gh + gh fh p f g p + g gh p + gh

fh p 2" + g gh p

Т.е. надо найти такое > 0, что g

gh p < " при j h j < .

g обращается в 0 при j t j R

gh обращается в 0 при j t j R + 1, если j h j < 1.

gh(t) = g(h + t)

p =

R∫m j

p d =

g(t) gh(t) p

d (t)

BR+1(0)

(ess sup

g(t)

gh(t)

j t j ∫R+1 j

j t j R+1 j

На BR+1(0) g непрерывна

=) равномерно непрерывна

=) g

gh p < " при j h j < .

Упражнение.

					2
L2p := ff2 : R !			измеримые, 2 -периодичные и		∫0	j f jp d < +1g
L2p := ff2 : R !		R	измеримые, 2 -периодичные и		∫0	j f jp d < +1g
f p := (∫0	j f jp d )1/p
Доказать,	что если 1 p < +1, то fh f p h!0			0
	!

2.2. §2. Гильбертовы пространства

Замечание. (Напоминание)

Скалярное произведение ; : X X ! C

1. x; x 0 и x; x = 0 () x = 0

2.x; y = y; x

3.x + y; z = x; z + y; z

√

x = x; x – норма.

Определение 2.8.

H – гильбертово пространство, если в нем есть скалярное произведение и оно полное относительно нормы, задаваемой скалярным произведением.

Пример.

1.	L2(E; )	∫
	f; g :=
			d
		fg
		E
2.	l2	n∑
	x; y :=	1
		=1 xn		yn

Глава #2

44 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ 14. Ряды Фурье

Лемма.

1
Если ∑ xn сходящийся ряд в H, то
n=1	∑
∑	∑
1	1
n=1 xn; y = n=1 xn; y
Доказательство.
n
Sn :=	xk
=1
k∑	n	n
	∑	∑
Sn; y = k=1 xk; y		= k=1 xk; y
n	∑
	1
Sn; y ! k=1 xk; y
k∑	∑
	1
xk; y ! xk; y
=1	k=1

Определение 2.9.

x; y 2 H, x и y ортогональны, если x; y = 0 Обозначение – x ? y.

Определение 2.10.

∑1

xn – ортогональный ряд, если xj ? xk 8j ≠ k.

k=1

Замечание.

Если x1; :::; xn ненулевые попарно ортогональные, то они линейно независимые. c1x1 + c2x2 + ::: + cnxn = 0 =) c1x1 + ::: + cnxn; xk = 0

c1x1 + ::: + cnxn; xk = c1 x1; xk + ::: + cn xn; xk = ck xk; xk = ck xk 2

Но xk ̸= 0

=) ck = 0 =) линейно независимы.

Теорема 2.6.				1		2
∑				1		2
xn	– ортогональный ряд
∑		1		n∑	1
1
n=1 xn – сходится		()		=1 xn – сходится.
И в этом случае		n∑			∑
И в этом случае		=1 xn 2			= n=1 xn 2
Доказательство.		∑
	k∑	∑
	n	n	xk 2
Sn :=	xk Cn :=		xk 2
	=1	k=1
Пусть n > m:		∑		∑				∑		∑
		∑		∑				∑		∑
		n			n				n	n
Sn	Sm 2 = k=m+1 xk; k=m+1 xk							= k=m+1 xk; xk = k=m+1 xk 2 = j Cn Cm j
=) (фундаментальность Sn							() фундаментальность Cn)				=) (сходимость Sn ()
сходимость Cn)		∑			∑			∑ ∑		∑	∑
∑	∑	∑			∑			∑ ∑		∑	∑
1	1	1			1			1	1	1	1
n=1 xn; n=1 xn = n=1			xn; k=1 xk					= n=1 k=1 xn; xk = n=1 xn; xn = n=1 xn 2

Глава #2

45 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Т.к. xn; xk = 0 8k ≠ n.

11.04.2018

Следствие.

∑xn – сходящийся ортогональный ряд и φ : N ! N – перестановка индексов, то

∑xφ(n) сходится и ∑xφ(n) = ∑xn

Доказательство.

xn – сходится

()

< + . Но этот ряд со всеми положительными элементами,

xφ(n)

сходится

xφ(n) сходится.

т.е. можем переставлять как хотим.

()

∑

1 1

n=1 xn

n=1 xφ(n)

∑

xφ(k))

n=1(xn

xφ(n)); k=1(xk

= n=1 k=1

xn xφ(n); xk xφ(k)

∑

∑ ∑

xn1 xφ(n); xk

xφ(k) = xn; xk

xφ(n); xk xn; xφ(k) + xφ(n); xφ(k)

=1( xn; xn

xφ(n)

; xφ(n)

xn; xn + xφ(n); xφ(n) ) = 0

n∑

Пример ортогональных систем.

1.l2 feng en = (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0)

2.L2(0; 2 ) feintg n 2 Z

3.L2(0; 2 ) 1; cos t; sin t; cos 2t; sin 2t:::

4.L2(0; ) 1; cos t; cos 2t; cos 3t:::

5.L2(0; ) sin t; sin 2t; sin 3t:::

6.L2(T) fzng n 2 Z z = eit dz = ieit dt

Теорема 2.7.

x = =1 cnen, где feng – ортогональная система.
n∑	x;en
Тогда cn =
		en 2
Доказательство.			∑
	∑
	1		1
x; en = n=1 ckek; en			= k=1 ckek; en = cn en; en = cn en 2

Определение 2.11.

feng – ортогональная система в H, x 2 H.

Коэффициенты Фурье вектора x по ортогональной системе feng.

cn(x) :=	x;en
cn(x) :=	en 2	n∑
Ряд Фурье –		1
Ряд Фурье –		cn(x)en
		=1
Замечание.
Если x = ∑cnen, то это его ряд Фурье.
Глава #2		46 из 78	Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Теорема 2.8 ( О частичных суммах ряда Фурье). feng – ортогональная система. x 2 H

∑n

Sn := ck(x)ek; Ln := Linfe1; e2; :::; eng

k=1

Тогда
1.	Sn ортогональная проекции на Ln, т.е. 8y 2 Ln (x Sn) ? y
2.	Sn – наилучшее приближение к x в Ln
		x	Sn	= min			x	y
				y	2L	n
					2L
3.	Sn x

Доказательство.

1.x = Sn + z. Надо доказать, что z ? y 8y 2 Ln

Достаточно доказать, что z ? ek 8k = 1; :::; n

			j∑		∑
			n		n
	z; ek = x Sn; ek = x		=1 cj(x)ej; ek	= x; ek	j=1 cj(x) ej; ek =
2.	= x; ek	ck(x) ek; ek = 0 по определению ck(x).
2.	x y = Sn + z y = z + (Sn		y); y 2 Ln
	Заметим, что тогда и Sn y 2 Ln, а значит по первому свойству z ? (Sn y).
	x y 2 = z 2 + Sn y 2 z 2 = Sn			x 2
3.	Т.е. x	y Sn x , что и хотели.
3.	x 2 = z 2 + Sn 2 Sn 2

Следствие Неравенство Бесселя.
n∑
1	2	en 2	x 2
=1 j cn(x) j		en 2	x 2
Доказательство.
Sn 2 x 2				∑	k∑
∑				∑	k∑
Sn 2 =	n	ck(x)ek 2 =		n	n
Sn 2 =		ck(x)ek 2 =		ck(x)ek 2 =	j ck(x) j2 ek 2
k=1				k=1	=1

И переходим к пределу n ! 1.

Теорема 2.9 (Рисса-Фишера). feng – ортогональная система.

x 2 H. Тогда

1. Ряд Фурье для x сходится. ( ∑1 cn(x)en – сходится)

n=1

∑1

2. x = cn(x)en + z, где z ? en 8n 2 N.

n=1

Глава #2

47 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ							14. Ряды Фурье
		n∑			∑
3. x =		1			1	2	en 2
3. x =		=1 cn(x)en () x 2 = n=1 j ck(x) j					en 2
Доказательство.
	n∑	1
1.	1	2	en 2 x 2 < +1
1.	=1 j cn(x) j		en 2 x 2 < +1
		n∑
	=)	=1 cn(x)en – сходится.
		k∑
		1
2. z := x			ck(x)ek
		=1		k∑
				k∑
				1	ck(x)ek; en = x; en cn(x) en; en = 0
	z; en = x; en				ck(x)ek; en = x; en cn(x) en; en = 0
				=1
3.	“ =) ” уже была
	“ (= ”
		n∑
		1			z; e1; e2; ::: – ортогональная система.
	x =	cn(x)en + z			z; e1; e2; ::: – ортогональная система.
		=1
	=) x 2 =			1	2
	=) x 2 =			=1 j cn(x) j en 2 + z 2
				n∑

x 2 = ∑1 j cn(x) j en 2 =) z = 0

n=1

Замечание.

1. x 2 = ∑1 j ck(x) j2 ek 2 – тождество Парсеваля.

k=1

2. ∑1 ck(x)ek – проекция на Cl Linfeng

k=1

∑1

Т.е. (x ck(x)ek) ? y 8y 2 Cl Linfeng.

k=1

3. Если ∑1 j ck j2 ek 2 < +1, то 9x 2 H, т.ч. ck = ck(x).

k=1

∑1

x = ckek – просто возьмем такой x.

k=1

Определение 2.12.

feng – ортогональная система.

	k∑
feng – базис, если 8x 2 H	1
feng – базис, если 8x 2 H	x = ck(x)ek
feng – полная, если z ? en	=1
feng – полная, если z ? en	8n 2 N, то z = 0.

feng – замкнутая, если 8x 2 H выполняется тождество Парсеваля.

Теорема 2.10.

feng – ортогональная система. Следующие условия равносильны.

Глава #2

48 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

1. feng – базис

∑1

2. x; y = cn(x)cn(y) en 2

n=1

3.feng – замкнутая.

4.feng – полная

5.Cl Linfeng = H

Доказательство.

“1 =) 2”

k∑

∑

x =

cn(x)en y =

ck(y)ek

n=1

∑

∑ ∑

1 1

∑

x; y = n=1 cn(x)en; k=1 ck(y)ek

= n=1 k=1 cn(x)en; ck(y)ek =

∑ k∑

∑

cn(x)ck(y) en; ek =

cn(x)cn(y) en

n=1 =1

n=1

“2 =) 3”

x = y дает тождество Парсеваля.

“3 =) 4”

Напишем для z ? en тождество Парсеваля.

n∑

z 2 =

=1 j cn(z) j en 2 = 0 =)

z = 0

“4 =) 1”

n∑

x =

=1 cn(x)en + z,

где z ? en 8n 2 N =) z = 0

n∑

=) x =

=1 cn(x)en

“1 =) 5”

n∑

x 2 H

=) x =

=1 cn(x)en 2 Cl Linfeng

“5 =) 4”

Пусть z ? en 8n 2 N =) z ? Cl Linfeng = H

=) z ? z =) z 2 = 0 =) z = 0

Пример.

Функции Радемахера

[2nt]

t 2 [0; 1]

rn(t) := ( 1)

На самом деле rn(t) = 1

2an(t)

an – n-ая двоичная цифра, при условии, что t не двоично

рациональные.

frng – ортогональная система в L2[0; 1]. k > n

rn; rk = 0

Это не полная система. Т.к. r1r2 ? rn Подправим до полной.

Глава #2

49 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Функции Уолша A N #A < +1

∏

wA(t) := rk(t) w (t) 1

k2A

– полная ортонормированная система.

A ≠ B

wA; wB = wAnB; wBnA = 0

Надо проверить, что Cl LinfwAg = H

LinfwA : A f1; 2; :::; ngg Linf1[ 2kn ; k2+1n ]g

С другой стороны, размерности совпали. (2n линейно независимых векторов)

Значит, LinfwA : A f1; 2; :::; ngg = Linf1[ 2kn ; k2+1n ]g

Cl Linf1[ 2kn ; k2+1n ]g все ступенчатые функции.

Ступенчатые функции плотны, т.е. получили все.

19.04.2018

Теорема 2.11 (Ортогонализация Грамма-Шмидта). x1; x2; x3; ::: 2 H – линейно независимы

Ln := Linfx1; x2; :::; xng. Тогда

9e1; e2; e3; ::: ортонормированная система, т.ч. Linfe1; e2; :::; eng = Ln

И если f1; f2; ::: ортонормированная система, т.ч. Linff1; f2; :::; fng = Ln, то fn = nen, где j n j = 1.

Определение 2.13. Ортонормированные многочлены

a; b R – мера на a; b

xk d (x) < +1. Тогда можно взять последовательность мономов 1; x; x2; x3; ::: в L2( a; b ; )

ее по Граму-Шмидту по заданному скалярному произведению.

и ортонормировать∫

f; g := ∫a f(x)

d (x)

g(x)

Пример.

Многочлены Лежандра

1 dn

Pn(x) :=

((x

1) )

2nn!

dxn

Ортонормированная система в L2[ 1; 1]

Многочлены Чебышева первого рода.

Tn(x) := cos(n arccos x) ортогональная система в L2([

1; 1];

)

1 x2

Многочлены Чебышева второго рода.

sin((n+1) arccos x)

Un(x) :=

sin x

ортогональная система в L

([

1; 1]; 1 x

d )

Определение 2.14.

(X; ) – метрическое пространство, x 2 X и A X.

Глава #2

50 из 78

Автор: Никифоровская Анна

l;z

l 2

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Расстояние от x до A = наилучшее приближение к x элементами множества A:

(x; A) := inf (x; y)

y2A

Такой y , для которого (x; y ) = (x; A) – элемент наилучшего приближения.

Теорема 2.12 (О наилучшем приближении в гильбертовом пространстве). A – выпуклое, замкнутое непустое подмножество H, x 2 H.

Тогда существует единственный элемент наилучшего приближения.

Лемма.

2( u 2 + v 2) = u + v 2 + u v 2

Доказательство. (теоремы)

Пусть y и z 2 A =)

y+z

2 A.

d := (x; A) =) d2 x

y+z

=) 2( x y 2 + x z 2) = 2x (y

Заметим, что 2x

(y + z) 2 = 4 x

=) y z 2 2( x y 2 + x z 2

Т.к.

d = inf

x y

A :

) 9

+ z) 2 + y z 2

y+2 z 2 4d2

2d2)

yn ! d

n!1

ym 2 2( x yn 2 + x ym 2 2d2)

y =

– фундаментальная последовательность

nlim

n 2

, т.к. замкнуто.

)

) 9

= d

)

Теорема 2.13 (о проекции).

x 2 H и L – замкнутое подпространство.

Тогда существует единственный y 2 L и z ? L, т.ч. x = y + z. И y –

элемент наилучшего

приближения к x в L.

Доказательство.

Существование. Возьмем элемент наилучшего приближения к x в L.

8l 2 L y + l 2 L

=) y + l x 2 y x 2 z := y x

z + l; z + l z; z

z; z + l; z + z; l + l; l = z; z + l; z + z; l + j j2 l; l =) l; z + z; l + j j2 l; l 0

Подставим :=

l; z + z; l + j j2 l 2 0

j l;z j2

j l;z j

l 2

l 4

l 2

=) j l; z j2 = 0 =) z ? l

Единственность. x = y + z = y′ + z′

y y′ = z′

z′ и z ? L, в частности y

y′

= y = y′

= z = z′

0 =

y y′; z′

y y′; y y′

y y′

)

Глава #2

51 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Определение 2.15.

Ортогональная проекция x на L – тот y из теоремы. Ортогональный проектор PL : H ! H PLx = y Ортогональное дополнение L? := fz 2 H : z ? Lg

Свойства.

1.PL – линейный оператор.

2.Если L ≠ f0g, то PL = 1

3.	PL? = Id PL
4.	(L?)? = L

Доказательство.

1.Очевидно.

2.PLx 2 = y 2 y 2 + z 2 = x 2

=) PLxx 1 =) PL 1

Поскольку вектора из L переходят в себя PLy = y 8y 2 L, то получили что 1 достигается. Значит, PL = 1.

3.L? PL?x = z

x = y + z = PLx + PL?x

4. P(L?)? = Id PL? = Id (Id PL) = PL

=) L = PLH = P(L?)?H = (L?)?

Определение 2.16.

(X; ) – метрическое пространство – сепарабельное, если существует такое счетное множество

A X, что Cl A = X.

Обычно такое множество A называют всюду плотным.

Пример.

Rn сепарабельно, т.к. можно взять A = Qn.

Теорема 2.14.

В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует не более чем счетный ортонормированный базис.

Доказательство.

Берем счетное A = fx1; x2; x3; :::g Cl A = H.

Проредим эти xi так, что останется линейно независимое подмножество. (Идем, встретили выражающийся через предыдущие – выкинули).

fy1; y2; y3; :::g =) Linfxng = Linfyng

Глава #2

52 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

По Граму-Шмидту 9e1; e2; ::: – ортонормированная система.

Linfe1; e2; :::; eng = Linfy1; y2; :::; yng

=) Linfeng = Linfyng = Linfxng

=) Cl Linfeng = Cl Linfxng Clfxng = H

=) feng – базис.

Теорема 2.15.

Бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство изоморфно l2. (Т.е. есть такое отображение в l2, что оно биекция и сохраняет скалярное произведение)

Доказательство.

x 2 H 7!cfn(x)gn2N

	n∑
Берем базис feng. Знаем, что x; y =	1
	=1 cn(x)cn(y) = fcn(x)g; fcn(y)g l2

2.3. §3. Тригонометрические ряды Фурье

Определение 2.17.

∑n

Tn(x) = a20 + (ak cos kx + bk sin kx)

k=1

– тригонометрический многочлен степени n.

Если j an j + j bn j ̸= 0, то тригонометрический многочлен степени n.

Замечание. cos kx =

eikx+e ikx

sin kx =	eikx	e ikx
sin kx =		2i

		k∑
		n
Tn(x) =		ckeikx
		= n
Определение 2.18.
Тригонометрический ряд
	n∑
1		(an cos nx + bn sin nx)
a0	+
2	+
=1
		1	inx
Комплексная запись ∑ cne n				n! :::
Сходимость в понимании			ckeikx	n! :::
		k	∑	!1
			= n

Лемма.

Пусть тригонометрический ряд сходится в пространстве L1[0; 2 ] к функции f. Тогда

		2∫
2			f(x) cos kx dx
ak = 1
0
bk = 1 ∫02 f(x) sin kx dx
ck =	1	∫0	f(x)e ikx dx
	2
Доказательство.

Глава #2			53 из 78	Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

∫2

∫2

Заметим, что Sn(x) cos kx dx = ak, т.е. получили, что надо.

Для остальных коэффициентов доказывается аналогично.

Определение 2.19.

Пусть f 2 L1[0; 2 ]. Тогда

2∫

f(x) cos kx dx

ak := 1

bk := 1 ∫02 f(x) sin kx dx

ck :=

∫0

f(x)e

ikx dx

Коэффициенты Фурье для f.

Ряд Фурье для функции f

+ (an cos nx + bn sin nx)

n∑

Замечание.

j ak j

f L1

j bk j

f L1

j ck j

f L1

03.05.2018

Определение 2.20. (Всякие обозначения)

C2 – непрерывные 2 -периодические функции.

C2 =

max

f(x)

= max

f(x)

[ ; ]

R j

L2p = ff

: R ! R,

измеримые, 2 -периодичные

∫ j f(x) jp dx < +1g

f L2p = ( j f(x) jp dx)1/p

∫p

(0; 2 ),

Если f 2 L

то можно продолжить по периоду и попасть в L2

Если f 2 C[0; 2 ] и f(0) = f(2 ), то можно продолжить по периоду и попасть в Lp2

a0	при k = 0
Ak(f; x) := {a2k cos kx + bk sin kx при k = 0
	̸

∑1

Ak(f; x) – ряд Фурье.

k=0

Замечание.

Глава #2

54 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

∫

A (f; x) =

f(x t) dt

k = 0

∫

cos

f(x t)

kt dt k = 0

∫ f(t) dt

При k = 0 A0(f; x) =

f(t) cos kt dt

cos kx+ 1

f(t) sin kt dt

sin kx =

При k > 0;

Ak(f; x) = ak cos kx+bk sin kx = 1

∫

= 1 ∫ f(t) cos k(x

t) dt = 1

∫ f(x

s) cos ks ds

Пример.

Хотим понять, что происходит с рядом Фурье. Когда он сходится/расходится.

1.Дюбуа-Реймон

9f 2 C2 , т.ч. ряд Фурье расходится в некоторой точке

2.Лебег

9f 2 C2 , т.ч. ряд Фурье сходится во всех точках, но не равномерно.

3.Колмогоров

9f 2 L12 , т.ч. ряд Фурье расходится во всех точках.

4.Карлесон

8f 2 L22 ряд Фурье сходится почти везде.

5.Рисс

1 < p < +1 8f 2 Lp2 ряд Фурье сходится к f в Lp2

Лемма (Римана-Лебега).
E R f 2 L1			(E)	! 1	∫		! 1	∫
Тогда	! 1	∫	f(x)ei x dx =			f(x) cos x dx =
	lim			lim			lim	f(x) sin x dx = 0
	+	E		+	E		+	E

Лемма.

В Lp(R) при 1 p < +1 плотны ступенчатые функции на ячейках.

Доказательство.

Пусть A – измеримое множество, A < +1. Накроем его открытым G A, что (G n A) < ".

k	n
1
G =	[ k; k)

=) 9n (G n [ k; k)) < "

k=1

=) ( [ k; k) A) < 2" – именно так выглядит норма разности двух ступенчатый функ-

k=1

ций.

Доказательство. (леммы Римана-Лебега)

Глава #2 55 из 78 Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

ШАГ 1.

f = 1[ ; )

R f(x)ei x dx =

ei x dx = eii x

x= = eii ei

∫

j ::: j

j i j

2 ! 0

ШАГ 2.

f – ступенчатая функция на ячейках.

ШАГ 3.

f – произвольная суммируемая функция.

Зафиксируем " > 0 и найдем g : R ! R ступенчатая на ячейках f g L1(R) < "

R g(x)ei x dx ! 0 =) 9N 8 N

R g(x)ei x dx

< "

∫

R f(x)ei x dx

R g(x)ei x dx

f(x)ei x g(x)ei x

dx = R j f(x) g(x) j dx =

=∫

f g

(R)

<∫"

∫

f(x)ei x dx

R g(x)ei x dx

f(x)ei x dx

R g(x)ei x dx

, где каждое слагаемое

<∫

∫

=) < 2"

lim

f(x)ei x dx = 0

)

∫

Следствие.

Если f 2 L21 ,

то ak(f); bk(f); ck(f); c

k(f) k! 0

Доказательство.

E = [

; ]

= k

Замечание Напоминание.

Липшицевы функции LipM

8x; y j f(x)

f(y) j M j x y j

Модуль непрерывности wf ( ) :=

sup j f(x) f(y) j

j x

y j

Липшицевость =) wf ( ) M

Теорема 2.16.

Если f 2 C2 , то j ak(f) j ; j bk(f) j ; 2 j ck(f) j wf ( k )

Доказательство.

∫ f(x) cos kx dx =

ak(f) =

∫ f(x + k ) cos kx dx

kx dx

2 ( ∫

) =

(

) cos

∫ f(x + k ) cos kx dx) = 2

j ak

(f) j 21

∫

f(x)

f(x + k )

j cos kx j dx wf ( k )

Следствие.

Если f 2 LipM , то j ak(f) j ; j bk(f) j ; 2 j ck(f) j M( k )

∫

(f(x) f(x + k )) cos kx dx

Глава #2

56 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

Лемма.

f 2 C21 ak(f′) = kbk(f) bk(f′) = kak(f)

Доказательство.

∫

f′(x) cos kx dx =

ak(f′) =

f(x) cos kx

f(x)( k sin kx) dx = kbk(f)

Следствие.

Если f 2 C2r и f(r) 2 LipM

0 < 1, то j ak(f) j ; j bk(f) j ; 2 j ck(f) j M

k +r

Доказательство.

ak(f

(r)

) =

ak(f)kr

bk(f)kr

ak(f(r)) M

2.21.

Определение

k∑

– ядро Дирихле.

Dn(t) := 21

cos kt

Свойства.

1.Dn(t) – четная, 2 -периодичная функция.

2.Dn(0) = n + 12

∫ ∫

3. Dn(t) dt = 2 Dn(t) dt =

4. Если t ̸= 2 k, то Dn(t) =

sin(n+ 21 )t

2 sin 2t

Доказательство.

k∑

∑

2 sin

Dn(t) = sin

+ 2

sin

cos kt = sin

(sin(k + 21 )t sin(k

21 )t) = sin(n + 21 )t

k=1

Лемма.

Sn(f; x) = 1 ∫ f(x t)Dn(t) dt =

∫ (f(x + t) + f(x t))Dn(t) dt

Доказательство.

Sn(f; x) = n ∫ f(x t)Dn(t) dt

∑

∫

k∑

∫

Sn(f; x) =

Ak(f; x) =

f(x

t) dt + 1

f(x t) cos kt dt = 1

f(x t)Dn(t) dt

k=0

Следствие.

Sn(f; x) = 1 ∫0

(f(x + t) + f(x

t))Dn(t) + o(1) при 0 < < , n ! +1

Доказательство.

∫

Sn(f; x) = 1

::: = 1

::: +

:::

Надо понять,

что 1 ∫

::: ! 0.

Глава #2

57 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

sin(n+ 21 )t

f(x+t)+f(x t)

(f(x + t)

f(x

t))

2 sin 2t

dt =

2 sin 2t

sin(n + 2 )t dt

∫

f(x+t)+f(x

∫t)

Нужна суммируемость

на [ ; ]

2 sin

j ::: j

j f(x+t) j+j f(x t) j

– суммируема.

2 sin 2

f(x+t)+f(x t)

=) по лемме Римана-Лебега ∫0

sin(n + 2 )t dt ! 0

2 sin 2t

Теорема 2.17 (Принцип локализации).

f; g 2 L21 x 2 R > 0

Если f и g совпадают на (x

; x + ), то ряды Фурбе функций f и g в точке x ведут себя

одинаково.

Более того Sn(f; x)

Sn(g; x)

! 1

Доказательство.

h = f

=) h(t) = 0 при t 2 (x

; x + )

Sn(h; x) = o(1)

Sn(h; x) = Sn(f; x) Sn(g; x)

Лемма.

j f(t) j

dt и ∫0

j f(t)tj

ведут себя одинаково.

f 2 L2

, 0 < < . Тогда ∫0

2 sin 2

Доказательство.

2 s sin s s при s 2 (0; 2 ]

sin

j f(t) j

j f(t)tj

j f(t) j

2 sin 2

Определение 2.22.

x – регулярная точка функции f, если f(x) =

f(x 0)+f(x+0)

f′

lim

f(x+h)

f(x+0)

h!0+

f′

= lim

f(x

f(x 0)

h!0+

Определение 2.23. Обозначение.

fx (t) := f(x + t) + f(x t) f(x + 0) f(x 0)

Если точка регулярная, то	f (t) = f(x + t) + f(x t) 2f(x)
	x

Теорема 2.18 (признак Дини).

f 2 L12 x 2 R, x – точка непрерывности или разрыва первого рода.

0 < <


Тогда если ∫0	j fxt(t) j dt – сходится, то ряд Фурье для f в точке x сходится к

f(x+0)+f(x 0)

Доказательство.

f(x+0)+f(x

= 1

Sn(f; x)

(f(x + t) + f(x

t))D

(t) dt

(f(x + 0) f(x

0))D

(t) dt =

∫0

fx (t)Dn(t) dt =

∫0

fx (t)

sin(n +

по Римана-Лебега.

2 )t dt ! 0

2 sin 2t

Глава #2

58 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ										14. Ряды Фурье

			∫	fx (t)
Если			0	2 sin 2t			dt < +1
∫		x						∫
		f (t)						+
						1
		2 sin 2t
0				dt =			0
∫	j ::: j dt							∫	j fx (t) j dt < +1
					2 sin 2

=	∫
По лемме		fx (t)
По лемме	0	2 sin	2t
) сходится

dt и ∫ fxt(t) dt ведут себя одинаково.

10.05.2018

Следствие.

1.В точках регулярности в условии теоремы ряд Фурье сходится к значению в точке, в частности, в точке непрерывности.

	f		L1	[ ; ]		f′	(x)	f(x+0)+f(x 0)
2.		2			и существует конечное		, то ряд Фурье сходится к
2.		2			и существует конечное		, то ряд Фурье сходится к	2

В частности, в регулярных точках стремится к значению функции.

3.Если функция f кусочно дифференцируема, то ряд Фурье сходится во всех точках.

Доказательство.

1.	Ничего нового не утверждает.
2.	∫	fx (t)	dt = ∫ (		f(x+t) f(x+0)	+	f(x t) f(x 0)	) dt
2.	∫	t	dt = ∫ (		t	+	t	) dt
	0			0
	При t ! 0 оба подинтегральных слагаемых стремятся к чему-то конкретному. =) вблизи
	нуля ограничены.
	=) ∫			сходится.
		0

3. Кусочно дифференцируемость =) непрерывность и f′ (x) 8x.

Пример.

x 2 [0; 2 ] и продолжим по периоду. Получилась нечетная функция.

f(x) =

=) an = 0 8n

∫

cos nx

sin2

sin

bn =

2 0

nx dx

0 n

dx) =

nx dx

sin nx

(

) =

= n

2 n

n∑

sin nx

при 0 < x < 2

Глава #2

59 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ								14. Ряды Фурье
			n∑
	2x	=	1 sin(2nx)		при 0 < x <
	4	=	=1	2n	при 0 < x <
			=1
	=	1	sin((2n 1)x)			при 0 < x <
4	=		2n	1		при 0 < x <
		=1
		n∑		n 1∑		n 1	sin nx
			x	n 1∑	( 1)
			x	1	( 1)			при 0 < x < .
		( 4	2 ) =
4		( 4	2 ) =			n

n=1

(

sin nx

при 0 < x < . Более того,

это верно < x < , т.к. верно для нуля и

x = 2

n=1

обе нечетные.

функции ∑

Пример.

на (0; )

f(x) =

1 на ( ; 0)

при x = 0

Функция нечетная, значит an = 0.

∫

(

1)n

bn =

f(x) sin nx dx = 0 sin nx dx =

(

cosn

) 0

(

)

b2n = 0 b2n 1 =

n∑

sin(2n

f(x)

1)x

при x ̸=

Замечание Эффект Гиббса.

∑

sin(2k

1)x

Sn(x) :=

k=1

k∑

S′ (x) =

cos

1)x = sin 2nx

(2k

2 sin x

Sn′ (x) = 0 () sin 2nx = 0

Ближайшая к 0 точка x =

				/(2n)	sin 2nx
Sn(		) =	1	∫0		dx =
	2n		2		sin x

() x = 2n m

sin

+ O(

)

sin t

∫0

sin t

∫0

(1 + O(

)) dt = (1 + O(

))

Частичная сумма для f

2 (1 + O(

))

∫0

sin t

dt 1; 17898

Т.е. после скачка идет ошибка около 17%.

2.4. §4. Суммирование рядов Фурье

Определение 2.24.

A0; A1; A2; :::

Будем считать предел по-новому.

n := A0+A1+:::+An n+1

Если существует lim n = , то последовательность fAng сходится к по Чезаро.

n!1

Свойства.

Глава #2

60 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

1. Если A = lim An, то An сходится к A по Чезаро. (Это следствие теоремы Штольца)

n!1

2. Предел по Чезаро линеен.

Определение 2.25. Сумма ряда по Чезаро

∑n

An :=

k=1

n =

A0+A1+:::+An

. Если существует lim n, то (c)

an = lim n

n+1

Пример.

n∑

1 + 1

1 + :::

A2n = 1

A2n 1 = 0

A0+A1+:::+A2n 1

A0+A1+:::+A2n

n+1

2n+1

Свойства.

Если ряд суммируем по Чезаро, то an = o(n)

4. n =

)ak

n+1

k∑

Доказательство.

3. n ! =) n+1n n !

=) n+1n n

n 1 ! 0 =)

An 1

n 1

! 0

n 1

An 1

! 0

Упражнение.

Замечание.

Теорема Харди. Если ряд

an = O( 1 )

n ), то

ряд сходится.

∑

суммируем по Чезаро, и

(или даже

Пример.

21 +

1 cos nt

n∑

sin(n+ 21 )t

Частичные суммы Dn(t) =

cos kt =

2 sin 2t

D0(t)+D1(t)+:::+Dn(t)

k∑

n(t) :=

– ядро Фейера.

n+1

Свойства ядра Фейера.

1.n – четная 2 -периодичная функция.

2.n(0) = n+12

∫ ∫

3. n(t) dt = 2 n(t) dt =

Глава #2

61 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

4. n(t) =

sin2 n+12

2(n+1)

sin2

Доказательство.

k∑

sin(k +

1 cos(n+1)t

n(t) =

2(n+1) sin 2t

2 )t =

2(n+1) sin 2t

(

2 sin 2t

) =

2(n+1)

5. n(t) 0

6. lim max n(t) = 0

n!1 t

Доказательство.

sin

2 n+1

max n(t) = max

2 sin

2(n+1)

sin

2 t

n+1

Замечание Суммирование рядов Фурье по Чезаро.

Sn(x) = 1 ∫ f(x t)Dn(t) dt

n(x) =

S0(x)+S1(x)+:::+Sn(x)

∫ f(x t)

D0(t)+D1(t)+:::+Dn(t)

dt =

∫

n+1

Определение 2.26.

∫

f; g 2 L12 f g(x) := f(x t)g(t) dt

– свертка функций f и g.

Свойства.

sin2 n+1 t

sin2 2t2

f(x t) n(t) dt

1.f g 2 L12

2.f g = g f

3.ck(f g) = 2 ck(f)ck(g) – коэффициенты Фурье для экспонент.

4.1 < p < +1 и p1 + 1q = 1 f 2 Lp2 ; g 2 Lq2

= f

C2 и

)

5. 1 p +1 f 2 L2p ; g 2 L21 =) f g L2p f L2p g L21

Доказательство.

F (x; t) = f(x t)g(t) – измерима на [

; ]2

[ ∫; ]2 j F (x; t) j dx dt = ∫ j f(x t) j d(x t) ∫ j g(t) j dt = f L21 g L21

=) по теореме Фубини

f g(x) dx =

∫

f(x t)g(t) dt dx – внутренняя часть измерима

в широком смысле.

∫

∫ j f g(x) j dx

∫

∫ j ::: j dt dx f g

Замена x t = s.

∫ f(x t)g(t) dt =

∫ f(s)g(x

s) ds, но это верно по любому периоду.

Глава #2

62 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

∫

3. ck(f g) =

f g(x)e ikx dx =

f(x

t)g(t)e ikte

ik(x t) dt dx =

∫

∫ f(s)g(t)e ikte iks dt ds =

∫

f(s)e

iks ds ∫ g(t)e

ikt dt = 2 ck(f)ck(g)

17.05.2018

Доказательство.

	∫		∫	∫
4. j f g(x) j =
4. j f g(x) j =	f(x t)g(t) dt		( j f(x t) jp	dt)1/p ( j g(t) jq dt)1/q = f L2p g L2q

Непрерывность		:

g(x + h) f g(x) = ∫ f(x + h

t)g(t) dt

∫ f(x t)g(t) dt =

= ∫ (f(x + h t) f(x t))g(t) = ∫ φ(x t)g(t) dt

φ(x) = f(x + h) f(x)

∫

j f g(x + h) f g(x) j =

φ(x t)g(t) dt

φ L2p g L2q

= fh

f L2p g L2q

Но

при

! .

fh(x) := f(x + h)

Значит, непрерывность есть.

∫

5. f g Lp 2p

f(x t)g(t) dt

∫

g(t)

f(x t)

g(t)

dt)1/p(

g(t)

dt)1/q

f(x t)g(t) dt

f(x t)

(

j j

∫

j j

∫

p/q

∫1+∫p

p/q

f(x t)

g(t)

dt dx

1 =

f(y)

j j

g(t)

dt dy

j j

= ∫ j g(t) j dt ∫ j f(y) j

p/q

g L21

= g L21

f L2p

Определение 2.27. Аппроксимативная единица Множество параметров имеет предельную точку h0.

Kh(x) – аппроксимативная единица, если


1.	Kh 2 L21	∫ Kh(x) dx = 1
2.	Kh L21 M

Глава #2

63 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ					14. Ряды Фурье
3.	[	;]∫n[ ;]	j Kh(x) j dx h!!h0		0 при любом 2 (0; )
Если вместо 3 написать
3’.		ess sup		j Kh(x) j h!h0	0
		x2[ ;]n[	;]	!

– усиленная аппроксимативная единица.

Теорема 2.19 (об аппроксимативной единице). Kh – аппроксимативная единица.

1.	Если f 2 C2 , то Kh f f
		h!h0
2.	Если f 2 L2p	при 1 p < +1, то Kh f f L2p h!h0	0
		!

3.Если Kh – усиленная аппроксимативная единица, f 2 L12 и непрерывна в точке x, то

Kh f(x) ! f(x)

h!h0

Доказательство.

Kh f(x) f(x) =

∫ f(x t)Kh(t) dt

∫ f(x)Kh(t) dt = ∫ (f(x t) f(x))Kh(t) dt

Возьмем " > 0 и > 0 из равномерной непрерывности f

;]∫n[ ;]

Ix = ∫ +[

∫

j f(x

f(x) j j Kh(t) j dt "

j Kh(t) j dt " Kh L21

:::

∫

[

;]

[

;]

:::

[

;]

[

;]

j f(x

f(x) j j Kh(t) j dt 2M [ ;] [ ;]

j Kh(t) j dt ! 0

)

окрестности h0

в некоторой

:::

< "

j Ix j (M + 1)"

Возьмем " > 0 и > 0 из непрерывности f в точке x.

;]∫n[ ;]

Ix = ∫ +[

∫

j f(x

f(x) j j Kh(t) j dt "

j Kh(t) j dt " Kh L21

:::

[

∫

:::

∫

j f(x

f(x) j j Kh(t) j dt

;]

[

;]

[

;]

[

;]

ess sup

(t)

f(x t)

f(x)

[

;]

[

;] j

;]

[ ;]

∫n

t2[

ess sup j Kh(t) j (2 j f(x) j +

f L2 ) ! 0

;]n[

;]

Глава #2

64 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

2. Kh f f Lp 2p						!
∫					∫		∫

j Ix jp			dx =
	∫	∫	j	f(x	t)
		(		f(x	t)

∫

g(t) := j f(x + t)

0	p	dx ∫ (	∫ j f(x t) f(x) j j Kh(t) j dt)p dx
(f(x t) f(x))Kh(t) dt

f(x) jp j Kh(t) j dt) Kh pL/1q dx =

f(x) jp dx 2 C2

g p (t + h) g p (t) = f

ft+h

p/q

t+h

p 1

L2 h!!0

j Kh(t) j

f(x t) f(x)

Kh(t)

dt =

g( t)

dt =

2 j

h L2

∫

∫ ∫h

= Kh L21

j Kh j

g(0)

Заметим, что

j Kh j

– аппроксимативная единица.

Поэтому,

j Kh j

Kh L21

g(0) ! Kh L21 g(0) = 0

Пример усиленной аппроксимативной единицы. – ядро Фейера

n(x)

n(x) 0

∫

n(x)

dx = 2

L21 = 1

max

[ ; ]

[ ; ] h!0

Теорема 2.20 (Фейера).

1. f 2 C2 n(f) n f

2. f 2 L2p 1 p < +1 j n(f) f jL2p

! 0

Если f 2 L21 и непрерывная в точке x, то n(f)(x) n! f(x)

Доказательство.

n(f) = f 21 n и предыдущая теорема.

Следствие.

1.f 2 L12 и непрерывно в точке x.

Если ряд Фурье в точке x сходится, то он обязательно сходится к f(x).

Доказательство.

Если сходится ряд Фурье, то он сходится и по Чезаро, т.е. сходится n(f; x) и предел тот же, но n(f; x) ! f(x)

2. Если f 2 C2 и ряд Фурье сходится равномерно, то он сходится к f.

Глава #2

65 из 78

Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ

14. Ряды Фурье

3.(теорема единственности) f 2 L12

Если все коэффициента Фурье равны ноль, то f = 0 почти везде.

Доказательство.

Ряд Фурье нулевой =) n(f) 0

f L12 = n(f) f L12 ! 0 =) f L12 = 0 =) f = 0 почти везде.

4. f 2 L22 . Тогда ряд Фурье функции f сходится к f в L22

Доказательство.

Пусть ряд Фурье f сходится в L22 функции g.

=) n(f) g L22 ! 0, но n(f) f L22 ! 0

=) f g L22 = 0 =) f = g почти везде =) ряд Фурье сходится в L22 к f.

5.Тригонометрическая система – базис в L22 .

6.(тождество Парсеваля) f; g 2 L22 =)

∫	∑

f(x)g(x) dx = 2	ck(f)ck(g)
	k2Z

Теорема 2.21 (Вейерштрасса о приближении тригонометрическими многочленами). f 2 C2 и " > 0. Тогда существует тригонометрический многочлен T ,

т.ч. j f(x) T (x) j < " 8x 2 R.

Доказательство.

n(f) f =) 9n, т.ч.

j n(f; x) f(x) j < " 8x 2 R.

Но n(f; x) – это тригонометрический многочлен степени n.

Теорема 2.22 (Вейерштрасса о приближении многочленами).

f 2 C[a; b] и " > 0. Тогда существует такой многочлен P , т.ч. j f(x) P (x) j < " 8x 2 [a; b]

Доказательство.
[a; b] ! [0; ] xx	ab : [a; b] ! [0; ]

a + b a t : [0; ] ! [a; b].

Т.е. достаточно найти приближение на отрезке [0; ]. (Т.е. из C[0; ])

f(x)	x	2	[0; ]	– непрерывна и g( ) = g( )
g(x) = {f( x)	x	2	[ ; 0]	– непрерывна и g( ) = g( )
		2

Продолжим по периоду и получим функцию из C2

Возьмем T – тригонометрический многочлен из предыдущей теоремы. j g(x) T (x) j < " 8x 2 R

=) j f(x) T (x) j < " 8x 2 [0; ]

	a0	n	(ak cos kx + bk sin kx)
T (x) =	a0	+
T (x) =	2	+
		k=1
		∑
Разложим все в ряды Тейлора.

Глава #2			66 из 78	Автор: Никифоровская Анна

Математический анализ 14. Ряды Фурье

Они сходятся равномерно на [0; ]

Обрежем их так, что хвосты (с коэффициентами j ak j и j bk j) все вместе будут < ".

Получится многочлен P , т.ч. j P (x)

T (x) j < " 8x 2 [0; ]

=) j f(x) P (x) j < 2" 8x 2 [0; ]

22.05.2018

Замечание.

f – голоморфна в кольце r < j z j < R.

r < 1 < R. Тогда коэффициент в ряде Лорана

f(z)

eit

int dt

) – коэффициент Фурье.

dz =

n =

2 i j z∫j=1 zn+1

z=eit

∫0

(

)

g(t) = f(eit)

f на j z j = 1, g(t) = f(eit)

cn(g) =

∫0

g(t)e

int dt

Глава #2

67 из 78

Автор: Никифоровская Анна

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.202580.62 Кб0ACF (автокорелляционная функция).xlam
#
26.12.20251.06 Mб0Grachev_Metodicheskie_rekomendatsii_po_vypolneniyu_nauchno_issledovatelskoy.pdf
#
22.04.2025490.78 Кб1svetozarov.pdf
#
22.04.20253.02 Mб1Svetozarov_Osnovy_obrabotki_rezultatov_izmereniy_1980.pdf
#
22.04.202514.03 Mб2Svetozarov_V.V._Elementarnaya_obrabotka_rezultatov_izmereniy.pdf
#
24.10.2025401.41 Кб0term4-analysis.pdf
#
07.09.202513.73 Mб3Гордон Б.Г. Безопасность ядерных объектов.pdf
#
19.02.20241.43 Mб0Как написать статью.pdf
#
19.02.20242.06 Mб0Как сделать презентацию.pdf
#
16.09.20259.38 Mб0Коспект Вороновой_Анализ лаб.pdf
#
13.07.20242.12 Mб11ответы на историю инженерии в ПДФ Аванпост.pdf