МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И

МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

Ордена трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Теория вероятности и прикладной математики»

Индивидуальное задание

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Модуль №1

Выполнил:

Проверила:

Синева И.С.

Москва, 2024

Содержание

1.Постановка задачи 2

2. Описательная статистика 3

2.1 Построим гистограммы для выборок: 4

2.2 Проведём анализ асимметрии, разброса и выбросов по гистограммам: 5

2.3 Найдём основные выборочные числовые характеристики в excel: 6

3. Оценивание параметров 8

3.1 Опираясь на результаты п.1, выпишем несмещенные точечные оценки: 8

3.2 Найдём доверительные оценки параметров нормальных распределений и распределения Пуассона. 9

4. Проверка статистических гипотез 10

5.Вывод 13

1.Постановка задачи

1. Описательная статистика

Случайные величины и распределены по нормальному закону и соответственно. Случайная величина имеет равномерное распределение . Случайная величина – дискретна и имеет распределение Пуассона.

Требуется:

1. Просмотрев выборки – ( - номер варианта, соответствующий номеру студента в журнале группы) сформулировать и обосновать предположения о том, какому из указанных распределений соответствуют эти выборки.

2. Анализируя гистограммы частот, установить, какие данные более асимметричны, какие данные имеют наибольший разброс, какие данные содержат выбросы, сформулировать и обосновать предположения о том, какому из указанных распределений соответствуют эти выборки.

3. Найти основные выборочные числовые характеристики для массивов , , и :

• объем выборки,

• дисперсию,

• среднее,

• медиану,

• нижнюю и верхнюю квартили,

• моду,

• коэффициенты асимметрии и эксцесса,

• минимальное и максимальное значение,

• размах выборки

1. По результатам пп. 1-2 определить, какие массивы соответствуют величинам с нормальным, равномерным и пуассоновским распределением. Ответ обосновать.

1. Оценивание параметров

   1. Опираясь на результаты п.1, выписать несмещенные точечные оценки соответствующего предположительного распределения в каждом конкретном случае.

   2. Найти доверительные оценки параметров нормальных распределений и распределения Пуассона.

2. Проверка статистических гипотез

Используя критерий согласия , проверить выдвинутые ранее предположения о виде распределения каждой выборки.

4. Сделать обоснованные выводы из проведенного анализа.

2. Описательная статистика

Номер варианта – 25

Выбираем выборки v251,v252,v253,v254.

2.1 Построим гистограммы для выборок:

Предположим, что v252 это равномерное распределение, так как:

1. Все значения имеют примерно одинаковую вероятность появления.

2. На графике отсутствует выраженный пик.

v253 и v254 это нормальное распределение, так как:

1. Гистограмма имеет форму колокола

2. Большинство значений сосредоточено в центре, и чем дальше от центра, тем меньше значений.

v251 это Пуассоновское распределение, так как:

1. Гистограмма имеет форму, схожую с формой купола.

2. По диаграмме с точками видно что распределение дискретное.

2.2 Проведём анализ асимметрии, разброса и выбросов по гистограммам:

По графикам наибольшую асимметрию имеет выборка v251, затем идут v253, v254 и v252.

Проверим наблюдения с помощью формулы =СКОС(A:A) в excel:

v252	v253	v254	v251
0,048875	-0,00241	0,222265	0,222265

Распределения v252 и v253 почти симметричны

Распределения v254 и v251 имеют умеренную асимметрию, указывая на правостороннее смещение.

Наименьший разброс имеет выборка v252, остальные имеют больше разброс.

Проверим с помощью =СТАНДОТКЛОН(A:A) в excel:

v252	v253	v254	v251
0,592756	2,848975	1,086985	3,029686

Меньший разброс (v252) указывает на более однородную выборку данных

Больший разброс (v253, v254, и v251) говорит о том, что данные этих переменных более разнообразны, и в них присутствуют значения, сильно отличающиеся от среднего.

Выбросы есть на графике v253,v254,v251

Для выборки v253, точка 0 со значением 13,832

Для выборки v254, точка 0 со значениями 7,08; 7,547; 7,805

Для выборки v251, точка 0 со значением 19

3. Найдём основные выборочные числовые характеристики в excel:

v251 - Пуассоновское распределение

• Дисперсия и среднее приблизительно равны (9,18 и 10,13), что характерно для Пуассоновского распределения.

• Асимметрия положительная, что указывает на правостороннюю асимметрию распределения, что является признаком Пуассоновского распределения.

• Эксцесс отрицательный, указывает на более плоский пик распределения по сравнению с нормальным распределением.

v252 - Равномерное распределение

• Дисперсия относительно низкая (0,35), что может быть характерно для равномерного распределения, где значения распределены более равномерно, чем в других распределениях.

• Коэффициент асимметрии близок к нулю, что указывает на симметричность распределения, а эксцесс отрицательный, что может указывать на равномерность.

v253 и v254 - Нормальное распределение

• Среднее и медиана близки друг к другу, что является характерным признаком нормального распределения.

• Асимметрия близка к нулю для обоих распределений, что указывает на симметрию распределений относительно среднего значения.

• Эксцесс для v253 близок к нулю, что указывает на нормальность распределения. Для v254 эксцесс немного отрицательный, что может указывать на более плоский пик распределения, но всё ещё в пределах нормальности.

2.4 По полученным результатам делаем вывод, что v252 – равномерное распределение, v253 и v254 – нормальное распределение и v251 – Пуассоновское распределение.

3. Оценивание параметров

3.1 Опираясь на результаты п.1, выпишем несмещенные точечные оценки:

Рассчитаем с помощью excel:

Получаем:

Для v251:

10,13

Для v252:

0,000119

1,998422

Для v253:

4,042855

8,116658

Для v254:

4,112403

1,181537

3.2 Найдём доверительные оценки параметров нормальных распределений и распределения Пуассона.

Для v251:

9,7075 10,5525

Для v253:

3,6456 4,4401

13,29039 19,71459

Для v254:

3,9608 4,2640

15,68821 18,18144

4. Проверка статистических гипотез

Используя критерий согласия , проверим выдвинутые ранее предположения о виде распределения каждой выборки в excel.

Проверка равномерности для v252:

Несмотря на то, что статистика превышает критическое значение при α = 0.05, ключевым фактором является p-value, который значительно превышает уровень значимости, что указывает на то, что нет достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы. v252 – равномерное распределение.

Проверка нормальности для v253:

P-value превышает установленный уровень значимости и значение статистики меньше критического значения, значит принимаем предположение о том, что v253 – нормальное распределение.

Проверка нормальности для v254:

P-value превышает установленный уровень значимости и значение статистики меньше критического значения, значит принимаем предположение о том, что v254 – нормальное распределение.

Проверка гипотезы о распределении Пуассона для v251:

P-value превышает установленный уровень значимости и значение статистики меньше критического значения, значит принимаем предположение о том, что v251 – Пуассоновское распределение.

5.Вывод

Проведён тщательный анализ четырёх выборок данных: v251, v252, v253 и v254, используя описательную статистику, гистограммы частот, а также расчёты основных выборочных числовых характеристик.

• Выборка v252 была определена как равномерное распределение, что подтверждается отсутствием выраженного пика на гистограмме и приблизительно одинаковой вероятностью появления всех значений. Этот вывод подкреплён анализом асимметрии и дисперсии, указывая на наименьший разброс среди всех выборок и почти симметричное распределение. Проверка гипотезы с использованием критерия согласия не дала оснований для опровержения гипотезы, что выборка следует равномерному распределению.

• Выборки v253 и v254 были определены как нормальное распределение. Это вывод основывается на форме гистограмм, которые напоминают колокол, с большинством значений, сосредоточенных в центре. Проверка гипотез с использованием критерия согласия не дала оснований для опровержения гипотезы, что обе выборки следуют нормальному распределению.

• Выборка v251 была определена как распределение Пуассона на основании формы гистограммы и дискретного характера данных. Подтверждение этого предположения происходит через анализ асимметрии, который показал умеренную асимметрию, характерную для распределения Пуассона, а также наличие выбросов, что также может быть характерно для такого типа распределения. Проверка гипотез с использованием согласия не дала оснований для опровержения гипотезы, что выборка следуют Пуассоновскому распределению.