3) Уточнение корней Метод Итераций(вручную)

1. Исследование задания

• Приведем уравнение f(x)=0 к виду x = ɸ(x) . Тогда рекуррентная формула x_n+1 = ɸ(x_n). Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы |ɸ’(x)| < 1 при x [1, 3]. Если |ɸ’(x)| >= 1 то сходимость не обеспечена.

Приведем уравнение e^x – 4*e^-x – 1 = 0 к виду x = x + 2*f(x)/(m1+M1) и проведем исследование. т.к. |ɸ’(1)| > 1.

2. Расчет трех итераций

Для начала возьмем x₀=0.

тогда получается x1 = 1.921756275 т.к.

x1 =x0+2*(e^x – 4*e^-x – 1) / ( =1.921756275

x2 = e^x – 4*e^-x – 1=2.0179655369

x3 = e^x – 4*e^-x – 1=2.0259770307

Таблица 1.1 — результаты

n	xn	F(xn)
0	1	-2.6931471806
1	1.921756275	-0.3790376315
2	2.0179655369	-0.0323981697
3	2.0259770307	-0.00265121

После 3 итераций x₃= 2.0259770307

2. Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность после трех итераций по формуле:

ε = |x₃ - x₂| = 2.0259770307 – 2.0179655369 = 0.0080015948

Метод Хорд (на программе)

1. Исследование задания

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство f’’(x) на отрезке [a;b].

Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для которого знак функции f(x)совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд в [1]:

Выше было показано, что для функции f(x)=e^x – 4*e^-x – 1 f’’(x)<0 на отрезке [0;1]неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f’’(x)*f(1)>0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

2. Результаты программы.

Cоздать функцию, реализующую метод половинного деления

Функция для вычисления приближенного значения

def f(x): return x**2 - 2*x - 3 a = -10 b = 10 epsilon = 0.001 def func(x): return f(x)

def chord(a, b): return b - ((b - a) / (func(b) - func(a))) * func(b)

while abs(func(b)) > epsilon: b = chord(a, b) print("Корень уравнения:", b)

И его результат

После трех итераций приближение к корню x₃=2.026689263243525

Таблица 2.1 — результаты программы

x	f(x)	f’(x)	f’’(x)
1.	-2.69314718	1.5	0.13008934
1.2	-2.34845736	1.94545455	0.11676592
1.4	-1.91546874	2.38333333	0.10582704
1.6	-1.39551145	2.81538462	0.09669307
1.8	-0.78961942	3.24285714	0.08895697
2.	-0.09861229	3.66666667	0.08232473
2.2	0.67684919	4.0875	0.07657887
2.4	1.53622457	4.50588235	0.07155511
2.6	2.47906615	4.92222222	0.06712716
2.8	3.50499893	5.33684211	0.06319632
3	4.61370564	5.75	0.05968444

Таблица 2.2 — результаты программы

к	x	f(x)
1	3	0.5510891827598128
2	2.009263268525943	0.6671122276956227

Выводы

• Проведён анализ поставленной задачи. Необходимо было выбрать индивидуальное задание, отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом, для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения, с использованием итерационной формулы 1-го заданного метода провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета, оценить погрешность результата после 3-х итераций, для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10-4, создав программу, реализующую заданный метод.

• Результаты предварительного и программного расчётов, приведены в разделе 2 и 3.