2) Точка интерполяции для формулы Ньютона
Выбор и нумерация узлов.
Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.23 по 1 формуле Лангража выбираем 4 узла из таблицы 2–2 так, чтобы точка a = 0.23 оказалась между узлами с номерами с 1 по 2:
Таблица 2-1
Номера выбранных узлов (k) |
xk |
yk |
3 |
0.20 |
-4.0240 |
4 |
0.25 |
-3.9500 |
5 |
0.30 |
-3.8610 |
6 |
0.35 |
-3.7555 |
Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки x.
Перенумеруем узлы интерполяции симметрично относительно точки x=a для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицы вида 2–3:
Таблица 2 — 3:
-
k
0
1
2
3
xk
0.20
0.25
0.30
0.35
yk
-4.0240
-3.9500
-3.8610
-3.7555
Ручной расчет по формуле Ньютона.
Заполним таблицу конечных разностей:
-
x
y
Δy
Δ2y
Δ3y
0.20
-4.0240
-0.074
0.015
0.0015
0.25
-3.9500
-0.089
0.0165
0.30
-3.8610
-0.1055
0.35
-3.7555
Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона
Запишем интерполяционные многочлены Ньютона 1–й, 2–й и 3–й степени и вычислим их значения в точке x = а = 0.23 для многочленов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним. Определим значение q:
q = (a – x0) / h = (0.23 – 0.2) / 0.05 = 0.6
P1(x) = y0 + Δy*q = -4.0240 + (-0.074*0.6) = -3.9796
P2(x) = y0 + Δy*q + Δ2y*q*(q-1) = -3.9814
P3(x) = y0 + Δy*q + Δ2y*q*(q-1)/2 + Δ3y*q*(q-1)*(q-2)/6 = -3.9815
Выражение в явном виде:
f(x) = 2*x^3 + 1.5*x^2 + 0.5*x – 4.2
Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:
Степень многочлена k |
Pk(x) |
Погрешность |
1 |
-3.9796 |
0.0018 |
2 |
-3.9814 |
0.0001 |
3 |
-3.9813 |
– |
Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. a. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:
|f(x) – Pn (x)| <= |Pn+1(x) - Pn (x)|
|-3.9813 - (-3.9814)| <= |-3.9813 - (-3.9814)|
0.0001<=0.0001