3) Уточнение корней Метод Итераций(вручную)

1. Исследование задания

• Приведем уравнение f(x)=0 к виду x = ɸ(x) . Тогда рекуррентная формула x_n+1 = ɸ(x_n). Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы |ɸ’(x)| < 1 при x [1, 3]. Если |ɸ’(x)| >= 1 то сходимость не обеспечена.

Приведем уравнение x² – ln(1 + x) – 3 = 0 к виду x = √(ln(1 + x) + 3) и проведем исследование.

2. Расчет трех итераций

Для начала возьмем x₀=1 т.к. |ɸ’(1)| < 1.

тогда получается x1 = 1.921756275 т.к.

x1 = √(ln(1 + x) + 3)=1.921756275

x2 = √(ln(1 + x) + 3)=2.0179655369

x3 = √(ln(1 + x) + 3)=2.0259770307

Таблица 1.1 — результаты

n	xn	F(xn)
0	1	-2.6931471806
1	1.921756275	-0.3790376315
2	2.0179655369	-0.0323981697
3	2.0259770307	-0.00265121

После 3 итераций x₃= 2.0259770307

2. Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность после трех итераций по формуле:

ε = |x₃ - x₂| = 2.0259770307 – 2.0179655369 = 0.0080015948

Метод Ньютона (на программе)

1. Исследование задания

Метод Ньютона сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [1;3] функция x² – ln(1 + x) – 3 = 0 меняет знак(f(3)*f’’(3)>0) и монотонны (f’(x)>0) (f’’(x)>0), то условие сходимости выполняется.

Начальным приближением является: x₀=3.

2. Результаты программы.

Cоздать функцию, реализующую метод половинного деления

Функция для вычисления приближенного значения

n = 0 x0= 3 x= 0 def Newton(e=0.0001): global n, x0, x while True: if abs(f(x) - f(x0)) > e: n = n + 1 x = x0 - f(x0) / fprime(x0) x0 = x print(n, x, f(x)) continue else: return n, x NM = Newton(e) print(NM)

И его результат

Метод Ньютона

n= 1 x= 2.009263268525943 f(x)= 0.6671122276956227

(1, 2.026689263243525)

После трех итераций приближение к корню x₃=2.026689263243525

Таблица 2.1 — результаты программы

x	f(x)	f’(x)	f’’(x)
1.	-2.69314718	1.5	0.13008934
1.2	-2.34845736	1.94545455	0.11676592
1.4	-1.91546874	2.38333333	0.10582704
1.6	-1.39551145	2.81538462	0.09669307
1.8	-0.78961942	3.24285714	0.08895697
2.	-0.09861229	3.66666667	0.08232473
2.2	0.67684919	4.0875	0.07657887
2.4	1.53622457	4.50588235	0.07155511
2.6	2.47906615	4.92222222	0.06712716
2.8	3.50499893	5.33684211	0.06319632
3	4.61370564	5.75	0.05968444

Таблица 2.2 — результаты программы

к	x	f(x)
1	3	0.5510891827598128
2	2.009263268525943	0.6671122276956227

Выводы

• Проведён анализ поставленной задачи. Необходимо было выбрать индивидуальное задание, отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом, для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения, с использованием итерационной формулы 1-го заданного метода провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета, оценить погрешность результата после 3-х итераций, для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10-4, создав программу, реализующую заданный метод.

• Результаты предварительного и программного расчётов, приведены в разделе 2 и 3.

• Заполнены необходимые таблицы зависимых величин.