МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ

КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Иформатики»

Лабораторная работа №1

по теме «Методы решения нелинейных уравнений»

По дисциплине «Численные методы»

Выполнил: студент гр. БИК2107 Мальцев В.В.

Проверил:

Москва, 2022 г.

1.1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения уравнения.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

5. Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

6. Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

7. Сходимость метода итерации, выбор начального приближения, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.

8. Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.

9. Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.

10. Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.

11. Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

1.2. Общее задание

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 1-1:

• нелинейное уравнение;

• методы решения нелинейного уравнения для выполнения 3-х итераций;

2. Отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом с использованием средств пакета Scilab.

3. Для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения:

• проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

• выбрать начальное приближение к корню;

• сформулировать условие окончания этапа уточнения корня.

4. С использованием итерационной формуле 1-го заданного методу провести расчет трех итераций с использованием средств пакета Scilab. Результаты расчета свести в табл. 1-2.

5. Оценить погрешность результата после 3-х итераций.

6. Для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10^-4, создав программу, реализующую заданный метод. Произвести расчет, а результаты решений свести в табл. 1-2.

7. Найти решение нелинейного уравнения на отделенном отрезке с использованием функции fsolve пакета Scilab.

Варианты заданий

Таблица — 1

Индивидуальное задание

1) Задание для решения уравнения:

x² – ln(1 + x) – 3 = 0 – уравнение

Методы, с использованием которого требуется провести 3 итерации по уточнению корня заданного уравнения. (В моем примере рассматривается метод итераций, метод Ньютона).

2) Отделение корней

Рисунок 1 — Графическое отделение корней

# Функция для вывода x, f(x),f'(x),f''(x) from math import * import numpy as np x = np.array([i for i in range(10, 32, 2)]) / 10 f = np.array([i**2 - log(1 + i) - 3 for i in x]) df1 = np.array([2*i-1/(1+i) for i in x]) df2 = np.array([2-(-1)/(1+i)**2 for i in x]) x.shape = (11,1) f.shape = (11,1) df1.shape = (11,1) df2.shape = (11,1) p = np.array([x, f, df1, df2]) p.shape = (4,11) p = p.T print(f'x = __________f(x) = _______ df1(x) =_______ df2(x) =') print(p)

и его результат

x = __________f(x) = _______ df1(x) =_______ df2(x) =

[[ 1. -2.69314718 1.5 2.25 ]

[ 1.2 -2.34845736 1.94545455 2.20661157]

[ 1.4 -1.91546874 2.38333333 2.17361111]

[ 1.6 -1.39551145 2.81538462 2.14792899]

[ 1.8 -0.78961942 3.24285714 2.12755102]

[ 2. -0.09861229 3.66666667 2.11111111]

[ 2.2 0.67684919 4.0875 2.09765625]

[ 2.4 1.53622457 4.50588235 2.08650519]

[ 2.6 2.47906615 4.92222222 2.07716049]

[ 2.8 3.50499893 5.33684211 2.06925208]

[ 3. 4.61370564 5.75 2.0625 ]]

Таблица 2 — результаты

x	F(x)	F’(x)	F’’(x)
1	-2.6931472	1.5	2.25
1.2	-2.3484574	1.9454545	2.2066116
1.4	-1.9154687	2.3833333	2.1736111
1.6	-1.3955114	2.8153846	2.147929
1.8	-0.7896194	3.2428571	2.127551
2	-0.0986123	3.6666667	2.1111111
2.2	0.6768492	4.0875	2.0976563
2.4	1.5362246	4.5058824	2.0865052
2.6	2.4790662	4.9222222	2.0771605
2.8	3.5049989	5.3368421	2.0692521
3	4.6137056	5.75	2.0625

Вывод: На концах отрезка [1;3] функция имеет противоположные знаки, а 1-я производная знакопостоянна, следовательно, на этом отрезке уравнение x² – ln(1 + x) – 3 = 0 имеет единственный корень.