МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский технический университет связи и информатики»
Кафедра «Информатики»
Лабораторная работа №2
«Интерполяция функций»
по дисциплине
«Численные методы»
Выполнил: студент гр. БИК2107 Мальцев В.В.
Проверил:
Москва, 2022 г.
Вопросы, подлежащие изучению
Постановка задачи аппроксимации и интерполяции. Интерполяция в точке. Погрешность интерполяции.
Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.
Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.
Интерполяционная формула Ньютона, область применения.
Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей
Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.
Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.
2.2. Задание
1. Выбрать из таблицы 2–1 индивидуальное задание для интерполяции:
точку интерполяции x=a для интерполяции многочленом Ньютона;
точку интерполяции x=b для интерполяции многочленом Лагранжа;
2.Для интерполяции в точке x=a выбрать из таблицы 2–2 с интерполируемой функцией 4 подходящих узла для построения многочленов 1, 2 и 3-ей степени.
3. Перенумеровать узлы интерполяции для каждого из методов интерполяции. Занести перенумерованные узлы в таблицы вида 2–3.
4.Выполнить вручную интерполяцию по заданной формуле в заданной точке x=aилиx=bмногочленами 1–й, 2–й и 3–й степени:
заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);
записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени многочлена;
выполнитьрасчетыпо интерполяционным формулам для каждой степени многочлена; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.
занести полученные результаты в таблицу вида 2–4;для многочленов 1–й и 2–й степени вычислить и занести в таблицы 2-4 и 2-5 оценки погрешности интерполяции: модули разности между текущимPk(x) (Lk(x)) и следующимPk+1(x) (Lk+1(x)) значением многочлена.
5. Решить задачу интерполяции в точке с точностью 0.0001 на компьютере.
6. Объяснитьполученныерезультаты и сделать выводы.
2.3. Варианты задания для ручного расчета и таблица интерполируемой функции
Таблица 2–1
-
№ вар.
Интерполяционный многочлен
Ньютона
Лагранжа
x=a
x=b
1
0.06
ручной расчет
0.43
на компьютере
2
0.11
на компьютере
0.72
ручной расчет
3
0.16
ручной расчет
1.17
на компьютере
4
0.21
на компьютере
0.58
ручной расчет
5
0.31
ручной расчет
0.12
на компьютере
6
0.36
на компьютере
1.21
ручной расчет
7
0.41
ручной расчет
1.46
на компьютере
8
0.46
на компьютере
0.87
ручной расчет
9
0.51
ручной расчет
0.48
на компьютере
10
0.61
на компьютере
1.37
ручной расчет
11
0.07
ручной расчет
0.51
на компьютере
12
0.12
на компьютере
0.96
ручной расчет
13
0.17
ручной расчет
0.64
на компьютере
14
0.22
на компьютере
1.52
ручной расчет
15
0.32
ручной расчет
0.77
на компьютере
16
0.37
на компьютере
0.17
ручной расчет
17
0.42
ручной расчет
1.02
на компьютере
18
0.52
на компьютере
0.34
ручной расчет
19
0.62
ручной расчет
1.41
на компьютере
20
0.08
на компьютере
0.23
ручной расчет
21
0.13
ручной расчет
0.67
на компьютере
22
0.17
на компьютере
1.29
ручной расчет
23
0.23
ручной расчет
0.81
на компьютере
24
0.32
на компьютере
1.26
ручной расчет
25
0.42
ручной расчет
1.12
на компьютере
26
0.47
на компьютере
0.93
ручной расчет
27
0.53
ручной расчет
0.37
на компьютере
28
0.63
на компьютере
0.26
ручной расчет
29
0.09
ручной расчет
1.07
на компьютере
30
0.14
на компьютере
1.33
ручной расчет
Таблица 2–2
№ узла |
Значение аргумента xi |
Значение функцииyi |
0 |
0.05 |
-4.1710 |
1 |
0.10 |
-4.1330 |
2 |
0.15 |
-4.0845 |
3 |
0.20 |
-4.0240 |
4 |
0.25 |
-3.9500 |
5 |
0.30 |
-3.8610 |
6 |
0.35 |
-3.7555 |
7 |
0.40 |
-3.6320 |
8 |
0.45 |
-3.4890 |
9 |
0.50 |
-3.3250 |
10 |
0.55 |
-3.1385 |
11 |
0.60 |
-2.9280 |
12 |
0.65 |
-2.6920 |
13 |
0.70 |
-2.4290 |
14 |
0.75 |
-2.1375 |
15 |
0.80 |
-1.8160 |
16 |
0.85 |
-1.4630 |
17 |
0.90 |
-1.0770 |
18 |
0.95 |
-0.6565 |
19 |
1.00 |
-0.2000 |
20 |
1.05 |
0.2940 |
21 |
1.10 |
0.8270 |
22 |
1.15 |
1.4005 |
23 |
1.20 |
2.0160 |
24 |
1.25 |
2.6750 |
25 |
1.30 |
3.3790 |
26 |
1.35 |
4.1295 |
27 |
1.40 |
4.9280 |
28 |
1.45 |
5.7760 |
29 |
1.50 |
6.6750 |
30 |
1.55 |
7.6265 |