3) Уточнение корней Метод Ньютона (вручную)

1. Исследование задания

Из условия для уравнения x + ln(4x) – 1 = 0, где F(0)*F’’(x) > 0, а F(1)*F’’(x) < 0 выберем начальное приближение к корню: x₀=0.

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой: X_n+1=X_n – F(x_n) / F’(x_n)

В нашем случае x_n+1 = x_n - (x + ln(4x) – 1) / (1+1/x)

2. Расчет трех итераций

Для начала возьмем x₀=0.01 т.к. F(0) * F’’(x) > 0.

тогда получается x1 = 0.051672 т.к.

X_n+1=X_n – F(X_n)/F’(X_n)

X_n+1=X_n – (x + ln(4x) – 1) / (1+1/x)

x2 = X_n – (x + ln(4x) – 1) / (1+1/x) =0.175727

x3 = X_n – (x + ln(4x) – 1) / (1+1/x) =0.351615

Таблица 1.1 — результаты

n	xn	F(xn)
0	0.01	-4.208876
1	0.051672	-2.524872
2	0.175727	-1.176801
3	0.351615	-0.30731

После 3 итераций x₃= 0.351615

2. Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность после трех итераций по формуле:

ε = |F(x₃)| / m₁ = 0.30731/ 2 = 0.153655

Метод половинного деления (на программе)

1. Исследование задания

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция x + ln(4x) – 1 = 0 меняет знак(f(0)*f(1)<0) и монотонна (f’(x)>0), то условие сходимости выполняется.

Начальным приближением является середина отрезка [0;1]:x₀=(a+b)/2=0.5.

2. Результаты программы.

Cоздать функцию, реализующую метод половинного деления

Функция для вычисления приближенного значения

import math print("Введите исходные данные: ") print("a = ", end='') a = float(input()) print("b = ", end='') b = float(input()) print("eps = ", end='') e = float(input()) print("Вы ввели: ") print("a = %.2f b = %.2f eps = %.2e" % (a, b, e)) y = 3.0 * math.sin(a**0.5) + a - 3.0 n = 0 x = 0 z = 0 while abs(b - a) >= e: x = (a + b) / 2 z = 3.0 * math.sin(x**0.5) + x - 3.0 n = n + 1 if y * z < 0: b = x

print(f'промеежуточное значение x:{x}') print(f'промеежуточное значение z:{z}')

else: a = x y = z

print(f'промеежуточное значение x:{x}') print(f'промеежуточное значение z:{z}')

print("x =", x, "z =", z, "n=", n)

И его результат

Введите исходные данные:

a = 0

b = 1

eps = 0.0001

1)промеежуточное значение x:0.5

промеежуточное значение z:0.1931471805599454

2)промеежуточное значение x:0.25

промеежуточное значение z:-0.75

3)промеежуточное значение x:0.375

промеежуточное значение z:-0.21953489189183562

4)промеежуточное значение x:0.4375

промеежуточное значение z:-0.0028842120645773406

5)промеежуточное значение x:0.46875

промеежуточное значение z:0.0973586594223741

6)промеежуточное значение x:0.453125

промеежуточное значение z:0.047832107746692776

7)промеежуточное значение x:0.4453125

промеежуточное значение z:0.022627865034823724

8)промеежуточное значение x:0.44140625

промеежуточное значение z:0.009910985352668877

9)промеежуточное значение x:0.439453125

промеежуточное значение z:0.003523263284803013

10)промеежуточное значение x:0.4384765625

промеежуточное значение z:0.0003220057626918127

11)промеежуточное значение x:0.43798828125

промеежуточное значение z:-0.0012804817307117133

12)промеежуточное значение x:0.438232421875

промеежуточное значение z:-0.00047908280207387133

13)промеежуточное значение x:0.4383544921875

промеежуточное значение z:-7.84997458155301e-05

14)промеежуточное значение x:0.43841552734375

промеежуточное значение z:0.00012176269920782801

x = 0.43841552734375 z = 0.00012176269920782801 n= 14

После трех итераций приближение к корню x₃=0.4375

Таблица 2.1 — результаты программы

x	f(x)	f’(x)	f’’(x)
0	-1	+∞	-∞
0.2	-0.21221334	6	-25
0.4	0.35551145	3.5	-6.25
0.6	0.82377543	2.66666667	-2.77777778
0.8	1.23508453	2.25	-1.5625
1	1.60943791	2	-1

Таблица 2.2 — результаты программы

к	x	f(x)
1	0.5	0.1931471805599454
2	0.25	-0.75
3	0.375	-0.21953489189183562
4	0.4375	-0.002884212064577340

Выводы

• Проведён анализ поставленной задачи. Необходимо было выбрать индивидуальное задание, отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом, для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения, с использованием итерационной формулы 1-го заданного метода провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета, оценить погрешность результата после 3-х итераций, для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10-4, создав программу, реализующую заданный метод.

• Результаты предварительного и программного расчётов, приведены в разделе 2 и 3.

• Заполнены необходимые таблицы зависимых величин.