Министерство образования и науки российской федерации

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной

технический университет» в г. Салавате

КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ

«Комплексные числа»

«Операционное исчисление»

Составитель: Хазиев Ф.М.

Салават 2012

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида(алгебраическая форма комплексного числа), гдеи- любые действительные числа,мнимая единица, удовлетворяющая условию. Заметим, что

Числа иназываются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числаи обозначаются.

Комплексное число называетсясопряженным комплексному числу . Комплексные числаисчитаются равными тогда и только тогда, когда. Комплексное числоизображается в плоскоститочкой, либо вектором, начало которого находится в начале координат, а конец в очке(рис.1). Длина вектораназывается модулем комплексного числа и обозначается, так что. Угол, образованный вектороми осью, называется аргументом комплексного числаи обозначается; он определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного:, гдеесть главное значение, определяемое условиями, причем

Тригонометрическая форма комплексного числа

Из рис.1 следует , следовательно.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид

Действия над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа: в алгебраической форме и или в тригонометрической формеи

1) Сложение (вычитание). Суммой (разностью) двух комплексных чисел называется комплексное число, определяемое равенством:

.

2) Умножение. Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число, определяемое равенством:

,

т.е. комплексные числа можно умножать по правилу умножения многочленов, считая при этом, что .

Если числа даны в тригонометрической форме, то

;

Следовательно, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

3) Деление. Деление - действие, обратное умножению. Разделить комплексное число на комплексное числозначит найти такое комплексное число, чтобы выполнялось равенствоили. Перемножив левую часть получим:, откуда получаем систему уравнений относительнои:

,

которая при всегда однозначно разрешима, т.к. определитель

.

,.Тогда по формулам Крамера имеем:

Тогда называется частным двух чисел ии обозначается символом. Заметим, что этот же результат можно получить умножив числитель и знаменатель на.

Если эти числа заданы в тригонометрической форме, то

;

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

4) Возведение в степень. Из правила умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует правило возведения в целую положительную степень комплексного числа:

.Таким образом

Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

5) Извлечение корня. Корнем ой степени из комплексного числаназывается такое комплексное число,ая степень которого равняется подкоренному числу, т.е.

,

если

,

или

.

Так как у равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное , то. Отсюда находим:

,

где любое целое число,арифметическое значение корня из положительного числа. Следовательно,

Придавая значения 0, 1, 2, ... ,, получимразличных значений корня.

6) Показательная форма комплексного числа. Из математического анализа известно разложение функций в степенной ряд:

_{Условимся считать, что формула (6) имеет место и при} ; тогда получим

_{Учитывая (1) и отделяя действительные и мнимые члены, получим}

На основании формул (7) и (8) заключаем, что сумма рядов, стоящих в скобках, соответственно равна и, поэтому

Формула (9) называется формулой Эйлера.

Решая уравнения (9) и (10) относительно и, получим еще две формулы Эйлера

Формула (9) дает показательную форму комплексного числа: