произведения векторов
.pdf
Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное
Сайко Д.С.
Лекция для студентов 1 курса
2
|
|
произведение |
Скалярное |
||
Основные сведения и геометрический смысл
|
|
|
|
|
|
Скалярным произведением векторов |
|||
|
|
и называется скаляр (число) |
||
|
|
∙ ≡ |
, = |
|
|
|
cos |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов определяет |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
проекцию одного вектора на направление |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пр |
|
|
|
|
другого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр = |
∙ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр = |
∙ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов
( , , ) и ( , , )
в декартовой системе координат
∙ = + +
3
|
|
произведение |
Векторное |
||
|
|
|
Основные сведения и геометрический смысл
= ×
Векторным произведением векторов
и называется такой вектор = × , что:
1) |
= |
|
sin |
|
|
2),
3), , образуют правую тройку
Модуль векторного произведения векторови равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах
Векторное произведение векторов
( , , ) и ( , , )
в декартовой системе координат
|
|
|
× = |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
произведение |
Векторное |
||
|
|
|
Представление в декартовом базисе
|
|
|
|
|
|
Векторным произведением векторов |
||||
|
|
|
|
|
|
|
и называется такой вектор = × |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2) |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3) |
, , |
образуют правую тройку |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Векторное произведение векторов правого |
|||||
|
|
|
|
|
|
ортонормированного декартова базиса |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
, и : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× = |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно 1) |
|
= sin 90° |
||
|
|
|
|
|
|
|
2) |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
3) |
, , |
образуют правую тройку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица умножения для правого ортонормированного декартова базиса
|
|
|
|
|
0 |
|
− |
|
− |
0 |
|
|
|
− |
0 |
5
|
|
произведение |
Векторное |
||
Представление в декартовом базисе
|
|
|
Таблица умножения для правого |
|||
|
|
|
ортонормированного декартова базиса |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− |
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
j |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Правый ортонормированный |
|||
j |
k |
|
декартов базис |
|
||
|
|
|
|
|
||
Левый ортонормированный декартов базис
6
|
|
|
произведение |
|
|
Векторное |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представление в декартовом базисе
|
|
Векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
× = ( |
|
+ |
|
+ |
) × ( + + ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица умножения для векторов |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Результат векторного произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
× = |
|
− |
|
+ − |
+ |
− |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно записать в виде
× = |
|
|
7
|
|
произведение |
Смешанное |
||
Основные сведения и геометрический смысл
Смешанным произведением векторов
, |
и называется число ∙ × . |
Если |
, , образуют правую тройку, то |
смешанное произведение положительно Если , , образуют левую тройку, то смешанное произведение отрицательно
Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
× |
∙ = × |
cos = |
≤ 90° |
= основения |
= Пр×
Смешанное произведение векторов
( |
, |
|
, |
|
), ( |
, |
, |
) и ( |
, |
, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в декартовой системе координат |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× ∙ = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
Произведения |
векторов |
|
Основные
свойства
Произведение |
|
|
|
|
векторов |
Скалярное |
Векторное |
Смешанное |
|
Свойство |
||||
|
|
|
||
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коммутативность |
Коммутативно |
Антикоммутативно |
Антикоммутативно |
|
|
= |
× = − × |
× с = − × с |
Число можно |
= |
× = × |
× с |
|
вынести за знак |
|
|
= (( × ) с) |
|
произведения |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дистрибутивность |
+ с |
× + с |
( × + ) |
|
|
|
|||
относительно |
= + с |
= × + × с |
|
|
сложения |
= ( × ) + ( × с) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
Произведения |
векторов |
|
«Геометрические смыслы»
Скалярное |
Векторное |
Смешанное |
|
|
|
Длина: проекция |
Площадь: Модуль |
Объём: Модуль смешанного |
одного вектора |
векторного произведения |
произведения равен объёму |
на направление |
равен площади |
параллелепипеда, построенного |
другого |
параллелограмма, |
на векторах |
построенного на векторах
|
Пр = |
|
|
= | × | |
= | × с| |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
произведений |
Иерархия |
||
Основные
сведения
Даны векторы |
, , |
Произведения |
векторное |
скалярное |
2 векторов |
× |
|
Произведения |
векторное |
скалярное |
Не |
3 векторов |
( × ) × с |
( × ) с |
существует |