5. Смешанное произведение
.pdf
5. Смешанное произведение
Смешанным произведением векторов a, b, c называют скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b, |
c |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b b b |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
координаты вектора a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Запоминание: a |
b, |
c |
|
|
|
|
|
координаты вектора |
|
. |
|||||||||
b |
b |
b |
|
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
x |
c |
y |
c |
z |
|
|
координаты вектора c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание: я иногда пишу |
a |
b |
|
|
c |
- |
в такой записи квадратные скобки – это просто |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скобки ... , в которых написано векторное произведение, и они написаны для того, чтобы отделить векторное произведение b c от скалярного.
Утверждение 1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c равен модулю
(абсолютной величине) смешанного произведения V |
|
a |
b , c |
|
параллелепипеда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Используя векторное произведение, найти объем пирамиды с вершинами в точках
A 0, 0, 0 , B 1, 0, 0 , C 0, 1, 0 , D 0, 1, 4 .
I. Вычитая из координат конца координаты начала, находим координаты векторов, на которых построена пирамида
a AB 1 0, 0 0, 0 0 1, 0, 0 ;
b AC 0 0, 1 0, 0 0 0, 1, 0 ;
cAD 0 0, 1 0, 4 0 0, 1, 4 . II. Найдем смешанное произведение
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
b |
|
a, |
c |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
bac
раскладываем |
1 1 2 |
|
1 |
0 |
|
4 |
|
|
|
||||
по 1-й строке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пояснение
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем параллелепипеда, построенного на |
векторах |
a, b, |
c равен абсолютной величине |
|||||
|
|
a, |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
смешанного произведения V |
|
b |
|
4 |
|
4 . |
||
параллелепипеда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда: Vпирамиды ABCD 16 Vпараллелепипеда 16 4 23 .
Ответ: Vпирамиды ABCD 23 .
Замечания:
1)в I в качестве начала векторов можно взять не точку А, а любую другую – понятно, что объем от этого не изменится.
2) Я в II считал смешанное произведение b a, c , чтобы получить отрицательное значение и подчеркнуть, что при нахождении объема – это положительная величина –
надо не забыть брать абсолютную величину. Конечно, можно находить |
a |
|
|
b, c . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Компланарными называют вектора параллельные одной и той же плоскости. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Утверждение. Три вектора a, b, c |
компланарны, если их смешанное произведение равно |
||||||||||||||||||||||||
нулю: a |
b, c |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Компланарны ли вектора a 1, 2, |
3 , |
|
|
1, 1, 1 , c 1, 2, |
1 ? |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Находим смешанное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
b, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
2 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
1 |
1 |
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
методом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пояснение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Смешанное произведение не равно нулю вектора не компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: вектора не компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задача |
2. |
При |
каком |
|
значении |
|
параметра |
|
k вектора a 2, |
|
1 , |
|
|
|
4, 2, 3 , |
||||||||||
|
|
|
k, |
|
b |
||||||||||||||||||||
c 2, |
1, |
3 компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Находим смешанное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
b, c |
4 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
... 10 6k . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
методом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вектора компланарны, если смешанное произведение равно нулю. В рассматриваемом случае смешанное произведение равно нулю при k 3
5 .
Ответ: вектора компланарны при k 3
5 .