Добавил:

Digor Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

4. Векторное произведение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.10.2025

Размер:

297.18 Кб

Скачать

☆

4. Векторное произведение

Векторным

произведением векторов

a a

, a

и b b ,b ,b

в прямоугольной

y z

декартовой системе координат называем вектор

a b

a a

def

или эквивалентное координатное определение

def

a b

Пояснение – запоминание определения

	def	e1	e2	e3
	def
a b		ax	ay	az
		bx	by	bz

ab

раскладываем

e 1

e .

по 1-й строке

( 1)1 1

( 1)1 2

( 1)1 3

длязапоминания

Обозначения: часто векторное произведение пишут, используя квадратные скобки a, b .

Геометрическая интерпретация (геометрические свойства)

Даны векторы a и b . Векторное произведение – вектор c a b , такой что:

вектор c векторного произведения перпендикулярен плоскости векторов a и b ;

вектор c векторного произведения направлен так, что наименьшее вращение от a к

вектору b вокруг вектора c осуществляется против часовой стрелки;

длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Замечание: рассматриваем систему координат, такую что ось Oz направлена так, что наименьшее вращение от положительной полуоси Ох к положительной полуоси Оу вокруг этой оси было против часовой стрелки, или иначе – положительные полуоси Ох и Оу направляем так, чтобы наименьшее вращение от полуоси Ох к полуоси Оу вокруг оси Oz осуществлялось против часовой стрелки

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задача 1. Найти векторное произведение векторов a 1, 0, 0 и b 1, 1, 0 .

Находим, используя определение

e1 e2 e3

c a b = 1 0 0 1 1 0

ab

пояснение

раскладываем	0	0	e	1	0	e	1	0	e 0 e 0 e 1 e .
	0	0	e	1	0	e	1	0	e 0 e 0 e 1 e .
по 1-й строке
	1	0	1	1	0	2	1	1	3	1	2	3
		0			0			1

Ответ: векторное произведение c a b

- вектор c 0, 0,

1 .

Для иллюстрации посмотрим выполнение свойств векторного произведения:

рисуем вектора a 1, 0, 0 и b 1, 1, 0 и вектор векторного произведения c 0, 0, 1 :

1) Видно, что вектор c 0,	0, 1 перпендикулярен плоскости Oxy и векторам a и b ,
лежащим в этой плоскости.

2)Вращение от вектора a к вектору b происходит вокруг вектора c против часовой стрелки.

3)Площадь параллелограмма SABCD можно найти геометрически – это произведение длины основания на величину высоты. Площадь SABCD 1 равна модулю вектора векторного произведения c 02 02 12 1. Отметим, что площадь треугольника, построенного на

векторах a и b			равна половине площади параллелограмма											S			1	1		1		1	.
векторах a и b			равна половине площади параллелограмма											S	ABD			1		1			.
															ABD		2				2
																			a	h
																			a	h
Задача 2	Даны			точки		A 3,5, 2 ,			B 7,5, 4 ,			C 4,5, 6 .					Используя							векторное
произведение,		найти:		1)		вектор перпендикулярный						плоскости				треугольника								ABC; 2)
площадь этого треугольника.
Решение I. Зная координаты точек начала и конца векторов, вычитая из координат точки
конца координаты точки начала, находим координаты векторов AB и AC :
				AB 7 3, 5 5, 4 ( 2) 4, 0, 2
					AC 4 3, 5 5, 6 ( 2) 1, 0, 4
II. Находим векторное произведение
		e1	e2	e3		e	раскладываем	0	2		4	2			4	0


							по 1-й строке
							по 1-й строке
n AB AC =		4 0		2	AB			0	4	e1	1	4	e2		1	0	e3 0 e1 14 e2 0 e3 .
		1	0	4				0	4		1	4			1	0
		1	0	4
					AC				0		14				0
					AC				0		14				0