3. Скалярное произведение
.pdf
3. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением |
векторов a a1 , a2 ,..., an |
и b b1 ,b2 ,...,bn будем называть |
число a b равное сумме попарных произведений координат |
||
|
|
n |
a |
b a1b1 a2b2 ...anbn или a |
b ai bi . |
i 1
Замечание: часто скалярное произведение обозначают (a, b) .
Скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними
a b a
b cos a^b .
Использование скалярного произведения для исследования и решения задач
1. Нахождение косинуса угла и угла между векторами
Задача: Найти косинус угла и угол между векторами a 1, 1 и b 1, 0 .
Решение. |
cos |
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
^ |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим скалярное произведение a |
b 1 1 1 0 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Находим модуль вектора a : |
|
a |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Находим модуль вектора b : |
|
|
|
|
|
|
12 |
02 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим cos |
|
|
a |
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a^ |
b |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
|
|
a^ |
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||
Ответ: cos |
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a^ |
|
|
|
|
|
|
|
a^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Исследование на ортогональность.
Утверждение: Два вектора ортогональны (взаимно перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Действительно, |
векторы a и b перпендикулярны друг другу, |
то есть a^ |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
||||||||||||||
b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
cos |
0 скалярное произведение a |
b |
a |
|
b |
cos |
0 . |
|
|
|
||||
a^ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a^ |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||
Задача 1 Являются ли вектора a 1, 2 и b 2, 1 взаимно ортогональными?
Решение. Находим скалярное произведение векторов
a, b 1 2 2 ( 1) 0 .
Скалярное произведение векторов равно нулюОтвет: вектора ортогональны.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача |
2. Найти значение параметра k и |
вектор a 1, k ортогональный |
вектору |
|||
b 2, |
1 . |
|
|
|
||
Решение. Находим скалярное произведение |
a, b 1 2 k ( 1) 2 k . |
Два |
вектора |
|||
ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, a, b 2 k 0 |
k 2 . |
|||||
Ответ: Параметр k 2 . Ортогональный к |
|
вектор a 1, 2 . |
|
|
||
b |
|
|
||||
------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
||||||
Задача 3. Найти параметра k и вектор b k, 1, |
8 ортогональный вектору a 2, 4, 1 . |
|||||
Решение. Находим скалярное произведение a, b 2 k 4 1 1 ( 8) 2k 4 . Два вектора
ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, a, b 2k 4 0 |
k 2 . |
|
Ответ: Параметр k 2 . Ортогональный к a вектор b 2, 1, 8 . |
|
|
3. Проекция вектора на вектор. Проекция вектора a на вектор b : пр a a, b . |
||
b |
b |
|
|
|
|
4. Свойства скалярного произведения:
1) a b b a , то есть скалярное произведение коммутативно
2) a, b a, b
3) a + b |
c a |
c b c |
4) a a 
a 
2
Доказательство на основе определения.
Коллинеарность векторов
Два вектора параллельные одной и той же прямой называют коллинеарными. Они параллельны друг другу.
Два вектора a и b |
коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
ay |
|
a |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пояснение: |
a |
x |
|
ay |
|
a |
z |
|
k , отсюда a |
|
kb , |
a |
|
kb , |
a |
|
kb , то есть |
a kb . При |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
у |
z |
||||||||||||||||||
|
bx |
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
у |
|
z |
|
||||||
|
|
|
обозначим k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
умножении на число результирующий вектор расположен вдоль общей прямой.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 1 Какие из векторов a 2, 1 , b 4, 2 , c 1, 3 коллинеарны?
Проверяем пропорциональность координат:
a , b : 24 12 a и b - коллинеарны
a , c : 12 13 a и c - не коллинеарны
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 2. Найти параметр и вектор b 4, k коллинеарный вектору a 2, 1 .
Находим параметр k, при котором координаты векторов пропорциональны 24 1k k 2 .
Ответ: Параметр k 2 . Вектор b 4, 2 коллинеарен вектору a .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пример 3. Какие из векторов a 1, 2, 3 , b 2, 4, 6 , c 3, 4, 6 коллинеарны? Проверяем пропорциональность координат:
a , b : |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
a и b - коллинеарны; |
||||
2 |
4 |
6 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
a , c : |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
a и c - не коллинеарны. |
||||
3 |
4 |
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||