0_Декартова_система_координат_Вектор

Декартова прямоугольная система координат

Декартова прямоугольная система координат на плоскости (2D), в пространстве (3D) задается двумя (тремя) взаимно-перпендикулярными осями и масштабом.

Стандартные названия: O – точка пересечения осей – начало координат; Ох – ось абсцисс; Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат.

Координаты точки: Дана точка М. Опустим перпендикуляры на оси координат. Длины отрезков OxM , OyM , OzM с учетом знака – координаты точки М.

Расстояние между двумя точками на плоскости (в пространстве)

Даны точки A xA , yA и B xB , yB .

Из прямоугольного треугольника АВС расстояние между точками АВ – длина отрезка dAB равна

dAB xB xA 2 yB yA 2 .

Пример. Найти расстояние между точками A 2, 3 и B 4, 1 :

dAB 4 2 2 1 3 2 22 2 2 22

dAB 4 1 2 5 2 2 6 3 2 32 32 32 33

Векторы на плоскости и в пространстве

Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой А и конечной точкой В

Нахождение координат вектора по координатам начальной и конечной точек

AB x2 x1 , y2 y1 .

Аналогично в 3D

Даны координаты начальной A x1 , y1 , z1 и конечной B x2 , y2 , z2 точек вектора AB . Тогда координаты вектора

AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .

Пример: Даны точки A 1, 4, 5 и B 3, 1, 2 . Чему равны координаты векторов AB и BA ?

Координаты AB 3 1, 1 4, 2 5 2, 3, 3 . Координаты BA 1 3, 4 1, 5 2 2, 3, 3 .

Длина вектора

Длиной (модулем, нормой) вектора a , заданного в декартовых прямоугольных координатах

Пример 3D: Какова длина вектора a 2, 4, 4 ? a22 42 42 36 6 .

Направляющие косинусы вектора

Направляющими косинусами вектора a называют косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат

Пример. Найти направляющие косинусы вектора a 3, 4 .

1)Находим длину вектора a 32 42 25 5 .

2)Находим направляющие косинусы cos 53 , cos 54 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

1)Находим длину вектора a22 42 42 36 6 .

2)Находим направляющие косинусы cos 62 , cos 64 , cos 64 .