Письменный_Конспект_Полный_курс

Q Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен­ ство х3 + у3 - Зху = О. Из полученного соотношения

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па-

раметрически в виде двух уравнений

{х = x(t),

(21.1)

у= y(t),

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у~, считая, что функции (21.1) имеют произ­ водные и что функциях= x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнения­

ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где

t=<p(x).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~ =

=у~. t~.

С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у~ от

функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави­

симости у от х.

180

§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Вряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­ ную функцию С'Нд'Ч.ала прологарифмировать. А затем результат про­ дифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еским диф­ ференцированием.

Пример 22.1. Найти производную функции

(х2 + 2) · V(x - 1)3 • ех

Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен­

цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­ гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

iJ Существуют функции, производные которых находят лишь лога-

рифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­

зываемая сmеnенно-nоказаmел:ьна.я функция у= uv, где и= и(х)

и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про­ изводную этой функции:

у1 = у ( v1 · ln и + v · ~1 · и') ,

т. е.

у' = иv ( v' ·ln и+ v · ~ · и'),

181

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ­

ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­

зательной функции, при условии и = const, и производной степенной

функции, при условии v = const.

При.мер 22.2. Найти производную функции у= (sin2x)x2 +1 .

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за­

помнить суть логарифмического дифференцирования.

§ 23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

23.1.Производные высших порядков явно заданной

функции

Производная у' = f'(x) функции у= f(x) есть также функция от

х и называется производно'i~ первого порядка.

Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ-

ется производной второго порядка и обозначается у" (или f"(x), ~:~,

d~(*),~)-Итак, у"= (у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существу­

ет, называется производной третъего порядка и обозначается ут (или

f"'(x), ~:~, ... ).Итак, у"'= (у")'.

Производной п-го порядка (или п-й производной) называется про­ изводная от производной (n - 1) порядка:

1 y(n) = (y(n-1))'. J

Производные порядка выше первого называются производнъtми вьtсших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна­

чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или yC5 J - про­

изводная пятого порядка).

При.мер 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у

= sinx.

182

Q Решение:

у' = (sin х)' = cos х= sin ( х+ ~),

у"= (у')'= (cosx)' = -sinx = sin(x + ~ ·2),

у111 = (- sin х)' = - cos х= sin ( х+ ~·3), y1v = (- cos х)' = sin х = sin ( х+ ~ ·4) ,

у<13) = sin ( х+ ~ ·13). •

23.2. Механический смысл производной второго

порядка

Пусть материальная точка М двюкется прямолинейно по закону

S = f(t). Как уже известно, производная s: равна скорости точки в данный момент времени: s; = v.

Покажем, что вторая производна.я от пути по времени есть ве­

ли'Чшtа ускорения прямо.линеfiного движения mО'ЧКи, Т. е. s:' = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + дt - скорость равна V + дV, т. е. за промежуток времени дt ско­

рость изменилась на величину дV.

Отношение 1,.~ выражает среднее ускорение двюкения точки за

время дt. Предел этого отношения при дt -t О называется ускорением

точки м в данный момент t и обозначается буквой а: lim лдvt = а,

дt-+0

т. е. V' =а.

Но V = s;. Поэтому а= (S;)', т. е. а= s;1 •

23.3.Производные высших порядков неявно заданной

функции

Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения

F(x;y) =О.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное

уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер­

вую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и

183

у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ­ водной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

23.4. Производные высших порядков от функций,

заданных параметрически

Пусть функция у = f (х) задана параметрическими уравнениями

{х = x(t),

у= y(t).

Как известно, первая производная у~ находится по формуле

Найдем вторую производную от функции заданной параметриче­

ски.

Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

184

Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле (23.2):

запоминать которую вряд ли стоит.

§ 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про­

изводную lim ~дд = f'(x) f:. О. Тогда, по теореме о связи функции, ее

дх--tО Х

предела и бесконечно малой функции, можно записать ~ = !' (х)+о:,

где о:-+ О при дх-+ О, или ду = f'(x) · дх +о:· дх.

Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум­

му двух слагаемых f' (х) ·дх и о: ·дх, являющихся бесконечно малыми при дх-+ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ­

слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,

Поэтому первое слагаемое f'(x) · дх называют главноii. -частью nрuращени.я функции ду.

~Дифференциалом функции у= f(x) в точке х называется глав­

ная часть ее приращения, равная произведению производной функ­

ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого

порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф­ ференциал функции у= х.

Так как у'= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx =

= дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению

этой переменной: dx = дх.

185

!i иными словами, дифференциа.л, функции равен произведению nроизводноii. эmoii. функции на дифференциа.я независимоii.

nеременноii..

Из формулы (24.2) следует равенство fШ = f'(x). Теперь обозначение производной fШ можно рассматриватькак отношениедифферен­

При.мер 24.2. Найти дифференциал функции

у= ln(l + е10х) + Jx2+1.

Вычислить dy при х = О, dx = 0,1.

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

этому АВ = f'(x) · Лх.

186

iJ Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дuфференцuа.л, функции. у= f(x) в точке х ра­

вен при.ращению ордuнати касате.л,ьноii. к графи.ку функции.

вэmoii. mо'Чке, когда х no.л,y'Чum при.ращение дх.

Вэтом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3. Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя

связь дифференциала и производной функции (dy = f' (х) dx) и соот­

ветствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у= с равна нулю, то диф­

ференциал постоянной величины равен нулю: dy=c' dx=O· dx=O.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух

дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

d(u + v) = du + dv, d(uv) = v · du +и· dv,

d ( ~) = v du - иdv (v 1' 0).

Q Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен­

циала имеем:

d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v · u'dx +и· v'dx = vdu + udv. 8

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе­ нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

О Пусть у= J(u) и и= ср(х) две дифференцируемые функции, образу­

ющие сложную функцию у= f(cp(x)). По теореме о производной сложной функции можно написать '

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y~dx=y~u~dx. Но у~ dx = dy и и~ dx = du. Следовательно, последнее равенство можно

187

Сравнивая формулы dy = у~ · dx и dy = у~ · du, видим, что пер­

вый дифференциал функции у = f(x) определяется одной и той же

формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой

переменной или является функцией другого аргумента.

~Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не­

изменностью) форми первого дифференциала.

Формула dy = у~ · dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = у~ · du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой

формуле х - независимая переменная, следовательно, dx = дх, во

второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du f-

f- ди.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф­ ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, d(cos и) = (cos и)~ · du = - sin и · du.

4.dy =у~ dx, если у= f(x);

5.dy =у~· du, если у= !(и), и= rp(x);

6.dc =О;

7.d(u°') =а· и°'-1 • du;

8.d(аи) =аи· lna · du, в частности, d(eu) = еи · du;

188

24.5. Применение дифференциала к приближенным

вычислениям

Как уже известно, приращение Лу функции у = f(x) в точке х можно представить в виде Лу = f'(x) · Лх +а· Лх, где а --+ О при

Лх--+ О, или Лу = dy +а· Лх. Отбрасывая бесконечно малую а· Лх более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство

Лу ~ dy,

ции у = х3 - 2х + 1 при х = 2 и Лх = 0,001.

Q Решение: Применяем формулу (24.3): Лу ~ dy

= (3х2 - 2) · Лх.

dyj х=2 = (3 · 4 - 2) · 0,001 = 10 · 0,001 = 0,01.

Лх=О,001

Итак, Лу ~ 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­ циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу:

Лу = ((х + Лх)3 - 2(х + Лх) + 1) - (х3 - 2х + 1) =

= х3 + 3х2 · Лх + 3х · (Лх)2 + (Лх)3 - 2х - 2 · Лх + 1 - х3 + 2х - 1 =

189