VI. Установившаяся фильтрация однородной сжимаемой (упругой) жидкости и газа

1. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси

Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)

(6.1)

и уравнений движения (2.4)

, ,, (6.2)

т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида =(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления , т.е. =(Р) и k=k(Р).

Введем обобщенную функцию давления следующим образом. Примем, что ее дифференциал

, (6.3)

тогда

(6.4.)

будем называть обобщенной функцией Лейбензона.

Так как функция и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.

Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем

; ;;

. (6.5)

Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)

; ;

. (6.6)

Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). Получим

(6.7)

или (6.8)

• это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

В случае установившейся фильтрации и уравнение (6.7) принимает вид

, (6.9)

или , (6.10)

т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.

2. Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости

Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.

В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=constи=const, а плотность флюида=(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как

,(6.11)

при этом .(6.12)

Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход

, (6.13)

где Q=const;(S) - площадь поперечного сечения струйки.

При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расходсохраняется постоянным:

Q_m=Q=const.

Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида (Р) и используя соотношение (6.12), имеем

, Q_m =const. (6.14)

Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Qнесжимаемой жидкости соответствует массовый расходQ_mсжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензонав уравнении (6.14).

Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации Vс давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрацииcфункцией Лейбензонав уравнениях (6.6).

Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:

Несжимаемая жидкость	Сжимаемый флюид
Объемный расход – Q Давление - Р Объемная скорость фильтрации - V	Массовый расход - Qm Функция Лейбензона - Массовая скорость фильтрации -

При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.