Рахман П.А. - Кодирование информации

41

Забегая вперед, отметим, что полученная формула фактически позволяет выполнять «быстрое» умножение двух заданных элементов поля многочленов GF(24), заданного над

простым полем GF(2) при помощи неприводимого многочлена x4 x 1.

c 1 1 0 1 1 0 1 1 00

c 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1

GF(2) 1

c2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

c3 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0

Таким образом, полевая свертка: (a(x) b(x))mod(x4 x 1) x2 x.

Проверим полученный результат. Для этого вычислим свертку традиционным

1 x6 1 x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x 1 x4 x 1

1 x6 0 x5 0 x4 1 x3 1 x2 0 x 0 x2 x 1 1 x5 1 x4 0 x3 0 x2 1 x 1

1 x5 0 x4 0 x3 1 x2 1 x 0

1 x4 0 x3 1 x2 0 x 1 1 x4 0 x3 0 x2 1 x 1

x2 x

Мы получили тот же самый результат: (a(x) b(x))mod(x4 x 1) x2 x.

42

Поле многочленов над простым полем Галуа. Пусть задано простое поле Галуа

GF(p). Пусть задано некоторое целое число m 2 . Пусть задан некоторый нормированный неприводимый многочлен m-й степени p(x) над простым полем GF(p). Пусть задано множество всевозможных многочленов-остатков по модулю неприводимого многочлена p(x) над простым полем GF(p). Пусть задана бинарная операция сложения + многочленов, вычисляющая сумму двух многочленов с последующим взятием остатка суммы по модулю неприводимого многочлена p(x). Пусть задана операция умножения · многочленов, вычисляющая произведение двух многочленов с последующим взятием остатка произведения по модулю неприводимого многочлена p(x). Тогда, согласно общей алгебре, множество всевозможных многочленов-остатков по модулю неприводимого многочлена p(x) над простым полем GF(p) и заданные две бинарные операции сложения и умножения многочленов образуют поле многочленов GF(pm) над простым полем Галуа GF(p).

Согласно общей алгебре поле многочленов GF(pm) также является алгебраическим расширением простого поля GF(p), поэтому поле многочленов для краткости будем называть

расширенным полем Галуа GF(pm).

Примечание. В литературе иногда расширенное поле Галуа GF(pm) так же, как и простое поле Галуа GF(p) обозначают в виде GF(q). Например, расширенное поле GF(22) может быть обозначено, как GF(4), или, например, поле GF(32), как GF(9). Ошибки в таком обозначении нет, но это может ввести в заблуждении неопытного читателя, который по ошибке может решить, что речь идет о простом поле. Поэтому, если поле обозначено в виде GF(q), всегда следует выяснять то, является q простым числом или некоторой целой степенью m 2 некоторого простого числа p. В первом случае речь идет о простом поле, а во втором случае – о расширенном поле. Наконец, если q не является ни простым числом, ни какой-либо целой степенью m 2 какого-либо простого числа p, то такого поля вообще не может существовать. Например, GF(17) – простое поле, поскольку 17 – простое число, GF(16) – расширенное поле, поскольку 16 = 24, причем 2 – простое число. А, к примеру, поля GF(15) – вообще не может существовать по определению, поскольку 15 не является ни простым числом, ни какой-либо целой степенью m 2 какого-либо простого числа.

Простейший пример расширенного поля – GF(22). Поле образовано на базе простого поля Галуа GF(2) и неприводимого многочлена p(x) x2 x 1. Множество элементов расширенного поля содержит 4 22 многочлена: {0,1,x,x 1}. Элементы расширенного поля являются всевозможными многочленами-остатками по модулю неприводимого многочлена p(x) x2 x 1. Нейтральным элементом по сложению (нулевым элементом) является многочлен a(x) 0, а нейтральным элементом по умножению (единичным элементом) является многочлен a(x) 1. Ниже приведены таблицы сложения и умножения для элементов расширенного поля GF(22), которые формируются путем вычисления сумм и произведений двух многочленов, принадлежащих полю GF(22), с последующим взятием остатка по модулю неприводимого многочлена p(x).

Из таблицы сложения нетрудно заметить, что для каждого элемента имеется обратный элемент по сложению – это сам элемент. Из таблицы умножения нетрудно заметить, что для каждого ненулевого элемента поля имеется обратный элемент по умножению: для элемента 1 – это элемент 1, для элемента x – это элемент x 1, для элемента x 1 – это элемент x.

Порядок поля равен 4, поскольку поле содержит 4 элемента, а характеристика поля равна 2, поскольку 1 1 0, то есть уже два единичных элемента в сумме дают нуль.

43

Еще один пример расширенного поля – GF(32). Поле образовано на базе простого поля Галуа GF(3) и неприводимого многочлена p(x) x2 x 2. Множество элементов расширенного поля содержит 9 32 многочленов: {0,1,2,x,x 1,x 2,2x,2x 1,2x 2}. Элементы расширенного поля являются всевозможными многочленами-остатками по

модулю неприводимого многочлена p(x) x2 x 2. Нейтральным элементом по сложению (нулевым элементом) является многочлен a(x) 0, а нейтральным элементом по умножению (единичным элементом) является многочлен a(x) 1. Ниже приведены таблицы сложения и умножения для элементов расширенного поля GF(32), которые формируются путем вычисления сумм и произведений двух многочленов, принадлежащих полю GF(32), с последующим взятием остатка по модулю неприводимого многочлена p(x).

Из таблицы сложения нетрудно заметить, что для каждого элемента поля имеется обратный элемент по сложению: для элемента 0 – это сам элемент 0, для элемента 1 – элемент 2, для элемента 2 – элемент 1, для элемента x – элемент 2x, и так далее, для элемента 2x 2 – это элемент x 1. Из таблицы умножения нетрудно заметить, что для каждого ненулевого элемента поля имеется обратный элемент по умножению: для элемента 1 – это сам элемент 1, для элемента 2 – это сам элемент 2, для элемента x – элемент x 1 и так далее, для элемента 2x 2 – элемент 2x.

Порядок поля равен 9, поскольку поле содержит 9 элементов, а характеристика поля равна 3, поскольку 1 1 1 0, то есть уже три единичных элемента в сумме дают нуль.

Таким образом, используя расширенный алгоритм Евклида для многочленов a(x) и p(x), мы можем найти многочлены g(x), h(x) и наибольший общий делитель-скаляр , а затем уже легко получить искомый многочлен b(x), разделив многочлен g(x) на скаляр .

Рассмотрим теперь суть расширенного алгоритма Евклида для многочленов, который представляет собой итерационную процедуру с использованием рекуррентных соотношений:

Ключевым рекуррентным соотношением является r(s 2)(x) q(s)(x) r(s 1)(x) r(s)(x), с

помощью которого при заданных начальных «остаточных» многочленах r(0)(x) p(x) и r(1) (x) a(x), на каждой итерации, начиная с итерации s 2, вычисляется очередной

«остаточного» многочлена r(s) (x) при помощи «остаточных» многочленов двух предыдущих итераций r(s 1)(x) и r(s 2)(x) является основой алгоритма Евклида, и именно оно используется для получения в конечном итоге многочлена, являющегося наибольшим общим делителем для двух многочленов a(x) и p(x). Кроме того, в расширенном алгоритме Евклида (в отличие от стандартного) также используется многочлен q(s) (x) для формирования многочленов g(x) и h(x) при помощи двух дополнительных рекуррентных

соотношений: g(s)(x) g(s 2)(x) g(s 1) (x) q(s) (x) и h(s) (x) h(s 2) (x) h(s 1) (x) q(s)(x), причем

g(0)(x) 0, g(1) (x) 1, h(0)(x) 1 и h(1)(x) 0. Алгоритм выполняется до тех пор, пока на некоторой итерации s n не будет получен нулевой «остаточный» многочлен r(n) (x) 0 . Тогда за наибольший общий делитель принимается «остаточный» многочлен предпоследней итерации: НОД(a(x), p(x)) r(n 1)(x) , соответственно, в качестве многочленов g(x) и h(x)

принимаются g(n 1)(x) и h(n 1)(x) , также получаемые на предпоследней итерации.

Отметим, что в нашем случае для вычисления многочлена b(x) 1 g(x), являющегося обратным по умножению для многочлена a(x) в расширенном поле GF(pm), достаточно вычислить многочлен g(x) и скаляр НОД(a(x), p(x)), а вычисление многочлена h(x) необязательно. Также заметим, что для того, чтобы НОД(a(x), p(x))был скаляром (многочленом нулевой степени) необходимо и достаточно, чтобы многочлен p(x) был неприводимым над простым полем GF(p). Поскольку мы имеем дело с полем GF(pm), то многочлен p(x) по определению поля является неприводимым, и для любого ненулевого многочлена a(x), представляющего элемент поля GF(pm), существует многочлен b(x), также

представляющий элемент поля GF(pm), такой что (a(x) b(x))mod p(x) 1.

GF(p)

47

Особо отметим, что в алгоритме вычисления обратного элемента по умножению в расширенном поле GF(pm), все операции с многочленами выполняются как с многочленами, заданными над простым полем GF(p). Соответственно, все операции с коэффициентами многочленов при операциях с многочленами (в том числе делении многочлена на скаляр ) выполняются по правилам арифметики простого поля GF(p).

Рассмотрим теперь пару примеров вычисления обратных элементов по умножению в некоторых расширенных полях GF(pm).

Пример 1. Вычислим в поле GF(24), образованного при помощи неприводимого

многочлена p(x) x4 x 1, обратный элемент по умножению для элемента a(x) x2 1. Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида для нахождения НОД(a(x), p(x)) и g(x).

за результат работы алгоритма принимаются результаты вычислений на предпоследней итерации s 3: g(x) g(3)(x) x3 x 1, НОД(a(x), p(x)) r(3)(x) 1.

(a(x) b(x))mod p(x) ((x2 1) (x3 x 1))mod(x4 x 1) (x5 x2 x 1)mod(x4 x 1)

48

Пример 2. Вычислим в поле GF(34), образованного при помощи неприводимого

нулевой степени), то, он нацело делит многочлен r(1)(x) x2 2 x 1, и остаток от деления будет равным нулю r(3)(x) 0. На этом работа алгоритма завершается. В качестве результатов принимаются: g(x) g(2)(x) 2 x2 2 x и НОД(a(x), p(x)) r(2)(x) 2.

элементом по умножению для элемента a(x) x2 2 x 1 в расширенном поле GF(34). Примечание 1. Заметим, что в полях GF(2m), являющихся расширением базового

простого поля GF(2) скаляр НОД(a(x), p(x)) всегда равен 1 для любого ненулевого многочлена a(x), поскольку скаляр сам по себе является ненулевым, а в поле GF(2) существует только один ненулевой элемент – это 1.

Примечание 2. В случае если a(x) является ненулевым скаляром a0 (многочленом

нулевой степени), алгоритм вычисления обратного элемента по умножению для элемента a(x) в поле GF(pm) фактически сводится к вычислению обратного элемента по умножению

для элемента a0 в базовом простом поле GF(p). В этом нетрудно убедиться, поскольку в этом случае алгоритм начинает работу при r(0)(x) p(x), r(1)(x) a(x) a0 , g(0)(x) 0 и

обратным элементом по умножению в поле GF(pm) будет элемент b(x) (1 ) g(x) (1a0).